takya.ru страница 1
скачать файл
3. Счётные множества, их свойства.

Счётным называется множество, эквивалентное множеству натуральных чисел. Его элементы можно перенумеровать и оно бесконечно. А – счётно, если



Теорема1: Из любого бесконечного множества можно выделить счётное подмножество.

X – бесконечное



Пусть X – бесконечное множество, тогда оно счётно, значит можно выделить , тоже счётное.

Продолжим до бесконечности. - счётное .



Теорема2: Любое подмножество счётного множества конечно или счётно.

Пусть А – счётное, .

Д-ть: В – счётно.

Д-во: (когда В – бесконечно) Первый встретившийся из В – 1-ый. Продолжим процесс до бесконечности. . Теорема доказана.



Теорема3: Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно. - счётное множество.

Прошиваем все элементы, пропускаем повторяющиеся и устанавливаем биекцию.

Теорема доказана.



Замечание: Объединение счётного числа конечных множеств не более чем счётно (конечное или счётное).

Теорема4: Если к бесконечному множеству добавить конечное или счётное число элементов, то новое множество будет эквивалентно данному:

А – бесконечное множество, В – конечное или счётное.





Следствие: Если из бесконечного множества убрать конечное число элементов, то новое будет эквивалентно данному.

Теорема5: Если элементы а определяются n-значками, каждый из которых, независимо от других пробегает счётное множество значений, то множество а – счётно.

Нужно доказать, что А – счётно. Док-во при помощи математической индукции.



Предположим, что утверждение справедливо для n, тогда оно справедливо для n+1. счётное число по предположению. По Т.3 А – счётное множество. Теорема доказана для любого n.

Не следует думать, что всякое бесконечное множество является счётным.

4. Множество мощности. Континуум.



Теорема1: [0,1]{последовательности из 0 и 1}(множество подмножеств натуральных чисел). 0,1,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1…

Если

0,1,1/2, мы не берём. [0,1] = ,

По указанному алгоритму иксу ставим в соответствие последовательность из нулей и единиц. Это не будет ни зануляющаяся ни заединяющаяся последовательность. В – множество всех последовательностей. В = В1 в объединении с В2.

В2 ={стационарные последовательности, т.е. которые с некоторого номера будут нулиться или единиться. В2 – счётное,

- счётное, как объединение счётного числа конечных множеств.

[0,1] =



I.



На каком то шаге x окажется по разные стороны от точки деления. Получаем последовательность вложенных отрезков, длина которых стремится к 0. Далее будет аксиома о том, что пересечение последовательности вложенных отрезков стремящейся к 0, состоит ровно из одной точки. Значит f – биекция между А1 и В1.



Грубо говоря, точек на отрезке [0,1] столько же, сколько последовательностей из нулей и единиц.

II. Последовательности из (0,1) поставим в соответствие множество номеров единиц.

Это и сюръекция ,следовательно биекция. Теорема доказана.

Теорема2: {Множество последовательностей из 0,1} не эквивалентно множеству натуральных чисел.

Док-во: (от противного)

Предположим, что М – счётное и М эквивалентно N.

b – не совпадает ни с одной из последовательностей.

С одной стороны мн-о последовательностей из 0,1 совпадает с множеством последовательностей {an}. С другой стороны существует b из 0,1, которая отлична от всех этих последовательностей. Мы пришли к противоречию, т.е. М не эквивалентно N.

Замечание1: Множество N, как совокупность точек, включено в , но не они не эквивалентны:

Если множества эквивалентны, то они равномощны. А эквивалентно В



Замечание2: Известно, что для любой пары множеств А,В, справедливо хотя бы одно из утверждений:

Если и 1 и 2, то

Если 1, но не 2, то

Card(N)

Про множества эквивалентные отрезку{0,1},{(N)} говорят, что они имеют мощность континуума. С-континуум.

Замечание3: Вообще говоря, можно сказать, что множество подмножеств любого множества x не эквивалентно ему самому. .

скачать файл



Смотрите также:
3. Счётные множества, их свойства
36.19kb.
3 часть «Метрические пространства. Функции нескольких переменных» Классификация пространств. Основные определения и свойства
43.79kb.
Вопросы к экзамену по теории множеств Основные понятия наивной теории множеств
49.85kb.
Задания для контрольной работы группа 212
17.75kb.
Тема: Кислоты, их классификация и свойства
57.63kb.
Мы стоим на пороге третьего тысячелетия. Миновали печальные десятилетия замалчивания славного прошлого нашего Отечества, на­сильственного стирания множества пластов исторической памяти российского народа
6289.28kb.
Модуль 1: Интегралы
125.71kb.
Вопросы к гак по математическому анализу
19.9kb.
Редактирование базы данных
73.37kb.
Практическая работа № «Составление уравнений реакций на химические свойства металлов и неметаллов». В 1
22.73kb.
Тема урока: «Вода и её свойства»
69.62kb.
Понятие алгоритма. Свойства алгоритма. Этапы решения задачи при помощи пк
77.95kb.