takya.ru страница 1
скачать файл
Введение

Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений мы стали рассматривать на уроках геометрии в рамках учебного проекта «Экстремальные задачи в геометрии». В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее из возможных (как иногда говорят – оптимальное) решение.

Давно замечено, что окружающий мир во многом устроен по экстремальным законам, и решать практические экстремальные задачи в жизни приходится каждому человеку.

В школьной программе рассматриваются экстремальные задачи в курсе алгебры. Мы задались вопросом, а есть ли экстремальные задачи в геометрии? Так возникла идея нашего проекта. В рамках данного проекта меня заинтересовали задачи на нахождение пути наименьшей длины по поверхностям геометрических фигур. Почти все рассмотренные задачи были о мухе, которая ползет по поверхности геометрического тела, поэтому работу свою я назвала «Путешествие мухи по геометрической фигуре»



Цель моя - рассмотреть задачи на нахождение наименьшего расстояния между некоторыми точками на поверхности геометрических фигур, дополнить и расширить школьный курс геометрии. Для чего были поставлены задачи: изучение литературы по данной теме, поиск и составление задач на нахождение кратчайшего пути мухи по поверхностям геометрических фигур, обработка материала, его осмысление, описание решения задач, использование задач на уроках

Актуальность данных задач возрастает в связи с тем, что находит применение на практике, является одним из областей прикладной математики. Умение решать геометрические задачи, которые являются результатом абстракции ситуаций, имеющих место в реальной действительности, имеет важное значение в практической деятельности, в обычной жизни необходимы навыки решения таких практических задач.

В данной работе рассмотрены задачи о «путешествии мухи» по поверхностям геометрических фигур.



Объектом исследования являются экстремальные задачи по геометрии. а предметом – задачи на нахождение пути наименьшей длины.

Методы исследования: изучение математической литературы, анализ собранного материала, математические методы, графические методы.

Практическая значимость: Изложенный материал может использоваться во всех видах урочной и внеурочной учебной деятельности.

Основное содержание

Для решения задач нахождения кратчайшего расстояния на поверхности многогранников необходимо уметь развернуть поверхность многогранника. Что же такое развертка многогранника? Вы скажете – кусок картона, из которого можно свернуть данный многогранник. В этом есть правда, но это не вся правда. Оказывается, понятие развертки включает в себя больше, чем просто кусок картона. Представим себе многогранник не как тело, а как поверхность, составленную по некоторым правилам из многоугольников. Поэтому, многогранник как поверхность – это конечный набор плоских многоугольников, расположенных в пространстве так, что 1) каждая сторона любого из них одновременно служит стороной ровно другого, 2) любые два из них соединяются «дорожкой» из многоугольников набора, причем в «дорожке» последовательные многоугольники граничат по стороне, 3) если два многоугольника имеют общую вершину, то соединяющую их «дорожку» можно выстроить из многоугольников с той же вершиной. Условие 1 обеспечивает замкнутость поверхности – у нее нет края, условие 2 говорит о том, что поверхность связная – состоит из одного куска, условие 3 – исключает из числа многогранников, например, фигуру из двух кубов с общей вершиной, которые не имеют других общих точек. [ 7 ]

Таким образом, получив развертку любого многогранника, можем составлять задачи на нахождение пути мухи по данной поверхности. Кратчайшим расстоянием между двумя точками поверхности будет отрезок их соединяющий.

Итак, рассмотрим задачи.



Задачи.

С1

А

В

А1



D1

В1

D

С

С1



А

В

А1



D1

В1

D

С

Найдите путь наименьшей длины по поверхности единичного куба АВСDА1В1С1D1 из вершины А в вершину С1




Рис2

Рис1
В

С

А1



А

В1

С1

Решение: Рассмотрим разверстку двух граней куба. Путь по поверхности перейдет в путь по развертке. Ясно, что наименьшая длина достигается в случае, если путь представляет собой отрезок, соединяющий точки А и С1 Этот путь проходит через середину ребра ВВ1. Если ребро куба равно 1, то длина кратчайшего пути равна

Заметим, что найденный кратчайший путь не единственный. Такую же длину имеют пути, проходящие через середины ребер А1В1, ВС, СD, DD1 [ 4 ]



  1. На ребре куба сидит муха. Она хочет проползти по каждой его грани вернутся в исходную точку. Укажите кратчайший путь мухи и найдите его длину, если ребро равно 1.

В

А

Рис3



Решение: Воспользуемся разверткой куба (рис3) Точки А и В представляют одну и ту же точку на ребре куба. Кратчайшим путем, их соединяющим, является отрезок АВ. Его длина равна

[ 5 ]


  1. Найдите кратчайший путь по поверхности правильного тетраэдра АВСD (рис 4), соединяющий точки Е и F , расположенные на высотах граней в 7 см от соответствующих вершин тетраэдра. Ребро тетраэдра равна 20 см.

Рис 4

F

D



С

В

А



Е

Решение: Рассмотрим развертку трех граней тетраэдра. (Рис5) Кратчайшим путем будет отрезок, соединяющий точки Е и F. Его длина равна 20 см.

Рис 5


F

Е


  1. На ребре тетраэдра сидит муха. Она хочет проползти по каждой его грани и вернутся в исходную точку. Укажите кратчайший путь мухи и найдите его длину, если ребро тетраэдра равна 1.

В

А

Рис 6



Решение: Воспользуемся разверткой тетраэдра. (Рис 6) Точки А и В представляют одну и ту же точку на ребре тетраэдра. Кратчайшим путем, их соединяющим, является отрезок АВ. Его длина 2.

  1. Найдите кратчайший путь по поверхности единичного октаэдра АВСDEF (Рис7), соединяющий вершины А и С.

E

В

Рис 7



А

С

F



D

В

Рис 8



Е

А

С



Решение: : Рассмотрим развертку двух граней октаэдра. (Рис 8). Кратчайшим путем, соединяющим точки А и В , является отрезок АС. Его длина

  1. В вершине тетраэдра сидит муха. Она хочет прополсти по каждому ребру и вернутся в исходную точку. Укажите кратчайший путь мухи и найдите его длину, если ребро тетраэдра равно 1.

Рис 9

Решение. Граф, образованный ребрами тетраэдра, изображен на рисунке 9. Он не является уникурсальным, так как в каждой из четырех его вершин сходится три ребра. Для того чтобы обойти все ребра и вернуться в исходную точку.ю придется по крайней мере два ребра пройти дважды. Таким образом, длина кратчайшего пути равна 8.

[3]


  1. В вершине куба сидит муха. Она хочет проползти по каждому ребру и вернутся в исходную точку. Укажите кратчайший путь мухи и найдите его длину, если ребро куба равно 1.

Рис 10

Решение. Граф, образованный ребрами куба, изображен на рисунке 10. Он не является уникурсальным, так как в каждой из восьми его вершин сходится три ребра. Для того чтобы обойти все ребра и вернуться в исходную точку, придется по крайней мере четыре ребра пройти дважды. Таким образом, длина кратчайшего пути равна 16.

  1. На внутренней стенке цилиндрической банки в 3 сантиметрах от верхнего края висит капля меда, а на наружной стенке, в диаметрально противоположной точке, сидит муха. (Рис 11) Найдите кратчайший путь, по которому муха может доползти до меда. Радиус основания банки равен 10 см.

Рис 11

Решение: Рассмотрим развертку боковой поверхности цилиндра (Рис 12) Обозначим буквой В1 точку, симметричную в относительно стороны прямоугольника, С – точка пересечения этой стороны с А В1. Путь АСВ будет искомым, и его длина равна

Рис 12


С

А

В



В1
Заключение

В нашей работе мы отобрали задачи на нахождение кратчайшего пути, которую может пройти муха, двигаясь по поверхности геометрической фигуры. Такие задачи относятся к задачам на нахождение наибольших и наименьших значений, для решения которых применяются определенные методы. В школьных учебниках рассмотрены алгебраические задачи, а нам из всех геометрических задач на экстремумы удалось рассмотреть задачи на нахождение минимума. Задач на данную тему много, я постараюсь дальше продолжить мои исследования в этом направлении. В ходе работы у меня возникли много вопросов: например, сколькими способами можно разрезать куб, сделанный из картона, по ребрам, чтобы образовавшие куски можно было расположить на плоскости; какого вида получится развертка додекаэдра, возможность нахождения не только наименьших расстояний, но и наибольших; а можно ли из одинаковых граней сложить выпуклый многогранник, если да, то каков будет объем и т. п.



Выводы: Очень интересно совершать познавательные экскурсии по красивым математическим задачам.
Список литературы

  1. Атанасян Г.С.. Геометрия 7-9. Учебник. М, Просвещение. 2004.

  2. Атанасян Г.С.. Геометрия 10-11. Учебник. М, Просвещение. 2004.

  3. Депман И.Я. За страницами учебника математики. М.. Просвещение.1989.

  4. Еленский Щ. По следам Пифагора. М., Детгиз. 1961.

  5. Смирнова И. Смирнов В. Экстремальные задачи по геометрии. Математика. № 2. 2007.

  6. Школьник. К. Графическая грамота. М., Детская литература. 1977.

  7. Энциклопедический словарь юного математика . М., Педагогика. 1985 г


скачать файл



Смотрите также:
Цель моя рассмотреть задачи на нахождение наименьшего расстояния между некоторыми точками на поверхности геометрических фигур, дополнить и расширить школьный курс геометрии. Для чего были поставлены задачи
64.96kb.
Урок геометрии в 8-м классе "Площадь треугольника"
120.04kb.
В 2009-2010 учебном году методическое объединение учителей иностранного языка строило свою работу согласно разработанному плану и в соответствии с методической темой школы
165.23kb.
Сера, её физические и химические свойства
53.64kb.
Анализ воспитательной работы педагогического коллектива моу сош с. Кормино за 2009-2010 учебный год
171.83kb.
Конспект занятия по математике в старшей группе «Как мы спасали Петушка»
65.9kb.
Цель: Осуществление профильного обучения химии для учащихся по выбору
97.95kb.
«Работа с одаренными детьми» и курсы, организованные ао иппк ро «Организация процесса внедрения фогос основного общего образования»
26.86kb.
Урок геометрии в 8 классе по теме:
29.98kb.
Рабочая программа по геометрии разработана для учащихся 9 класса мбоу «Погромская сош»
14.39kb.
Урок-игра по информатике для 11 класса Цель: повторение и контроль знаний по теме «Защита информации». Задачи
142.75kb.
Географическое положение России
27.42kb.