takya.ru страница 1
скачать файл
.
II. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение называется однородным, если оно представимо в виде



.

Данное уравнение решается подстановкой , при которой , .


III. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение вида



называется линейным.

Данное уравнение решается методом Бернулли, при котором решение уравнения ищется в виде . Одна из функций ( или ) может иметь произвольный вид, а вторая функция находится в зависимости от первой:





В силу произвольности функции можно выражение в скобках приравнять к нулю, тогда уравнение равносильно системе из двух уравнений:



.

Решая первое уравнение системы, находим , а затем решаем второе и находим .



Дифференциальные уравнения второго порядка.
I. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

Уравнение вида решается последовательным двукратным интегрированием.

Уравнение вида , не содержащее функцию в явной форме, подстановкой

,

приводится к виду и решается как дифференциальное уравнение первого порядка.



Уравнение вида , не содержащее независимой переменной в явной форме, подстановкой

,

приводится к виду .


II. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

,

где - постоянные.

Если - корни характеристического уравнения

,

то общее решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:

1. Если - действительные числа, то

.

2. Если - действительные числа, то



.

3. Если - комплексные числа, то



.
III. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

,

где - постоянные.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения :

.
Частное решение для некоторых видов правых частей :

1. , где - многочлен степени :

а) Если не совпадает с корнями характеристического уравнения, то

,

где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами.



б) Если совпадает ровно с одним из корней характеристического уравнения, то

,

где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами.



в) Если совпадает с двумя из корней характеристического уравнения, то

,

где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами.



2. ,

где - многочлен степени , - многочлен степени :



а) Если не совпадают с корнями характеристического уравнения, то

,

где , и - многочлены степени с неопределенными коэффициентами.

б) Если совпадают с корнями характеристического уравнения, то

,

где , и - многочлены степени с неопределенными коэффициентами.



Приложение 1. Некоторые элементарные функции.










Частный случай:




Частный случай:




































Приложение 2. Значения тригонометрических функций.




0



























1







0







-1



0



1



0







1







0



-1



0



0



1



-



-1



0

1

-

-1

0



-



1



0



-1



-

1

0

-1

-



Список литературы


  1. Ефимов А.В., Демидович Б.П. и др. Сборник задач по математическому анализу, ч.1,2. – 1986.

  2. Берман Н.Г. Сборник задачник по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1964-1977.

  3. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.

  4. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.

  5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1962-1989.

  6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, ч.1,2 - М.: Наука, 1962-1988.

  7. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, ч.1,2 - М.: Рольф, 2002.

Валентина Андреевна Шефель

Татьяна Эрнестовна Захарова


ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Учебное пособие

(для студентов ИЭФ)

Редактор: В.К.Трофимов

Корректор: Д.С.Шкитина

Подписано в печать

формат бумаги 60х84/16, отпечатано на ризографе, шрифт №10,

изд.лист , заказ № , тираж . СибГУТИ



630102, Новосибирск, ул.Кирова, 86




скачать файл



Смотрите также:
I. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
77.34kb.
Программа соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта по направлению 521600
91.29kb.
Программа соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта по направлению 521600
91.29kb.
Н. Г. Кокоулина учитель математики 2009-2010 уч год алгебраические уравнения в курсе элементарной математики
146.71kb.
Постановка задач математической физики
34.53kb.
Задача Коши: Явный метод Эйлера
12.92kb.
Зарегистрирован в Минюсте РФ 25 июня 2013 г
251.96kb.
Решением уравнения первого порядка является функция … 1 2 3 4
66.35kb.
2. # 4 1(4) Решите задачу Коши:, при
44.45kb.
Синергетический фазовый переход второго рода
139.76kb.
Приказ №01 от «02»сентября 2013г. Положение о правилах внутреннего распорядка обучающихся муниципального бюджетного образовательного учреждения
195.75kb.
Программа дисциплина «Уравнения математической физики»
14.44kb.