takya.ru страница 1
скачать файл

http://sm.teormex.net



Определение перемещений в балках при изгибе

Имеем закон Гука при изгибе: , где (х) — радиус кривизны изогнутой оси балки в сечении х, М(х) — изгибающий момент в том же сечении, EJ — жесткость балки. Из высшей математики известно: — дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. — тангенс угла между осью х и касательной к изогнутой оси. Эта величина очень мала (прогибы балки малы)  ее квадратом пренебрегают и угол поворота сечения приравнивают тангенсу. Приближенное дифференциальное ур-ние изогнутой оси балки: . Если ось y направлена вверх, то знак (+). В некоторых вузах ось y направляется вниз (—). Интегрируя дифф. уравнение, получаем: ур-ние углов поворота, интегрируем второй раз: — получаем ур-ние прогибов. Постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий, которые зависят от способов закрепления балки.



Метод начальных параметров. Начало координат выбирают в крайней левой точке. При включении в уравнение момента М, который приложен на расстоянии "а" от начала координат, его умножают на множитель (х — а)0, который равен 1. Любую распределенную нагрузку продлевают до конца балки, а для ее компенсации прикладывают нагрузку обратного направления. Для рис.:

EJ= M(x) = RAx – – M(x – a)0 + – P(x – a – b); интегрируем:

EJ = EJ0 + RA – M(x – a) + – P;

EJy =EJy0 + EJ0x + RA – M + – P.

Начальные параметры — то, что мы имеем в начале координат, т.е. для рис.: М0=0, Q0=RA, прогиб y0=0, угол поворота 00. 0 находим из подстановки во второе уравнение условия закрепления правой опоры: x=a+b+c; y(x)=0.
Дифференциальные зависимости при изгибе:

; ; ; .

Определение перемещений способом фиктивной нагрузки. Сопоставляя уравнения:

и имеем аналогию,  определение прогибов можно свести к определению моментов от некоторой фиктивной (условной) нагрузки в фиктивной балке: . Момент от фиктивной нагрузки Мф после деления на EJ равен прогибу "y" в заданной балке от заданной нагрузки. Учитывая, что и , получаем, что угол поворота в заданной балке численно равен фиктивной поперечной силе в фиктивной балке. , . При этом должна быть полная аналогия в граничных условиях двух балок. Каждой заданной балке соответствует своя фиктивная балка. Закрепление фиктивных балок выбирается из того условия, чтобы на концах балки и на опорах имелось полное соответствие между "y" и "" в заданной балке и Мф и Qф в фиктивной балке. Если эпюры моментов как в действительной, так и в фиктивной балках строить со стороны растянутого волокна (т.е. положительный момент откладывать вниз), то линии прогибов в заданной балке совпадает с эпюрой моментов в фиктивной балке.

Статически неопределимые балки.

Статически неопределимыми называются системы, реакции в которых не могут быть определены из уравнений равновесия твердого тела. В таких системах больше связей, чем это необходимо для равновесия. Степень статической неопределимости балки (не имеющей промежуточных шарниров – неразрезные балки) равна избыточному (лишнему) числу внешних связей (более трех).



Раскрытие статической неопределимости с помощью дифф-ного урав-ния изогнутой оси балки. Записываем дифф-ное урав-ние куда входит в качестве неизвестной реакция RB и дважды его интегрируем: EJ= RВx – ; EJ = RВ + С;

EJy = RВ + Сх + D. Используем условия закрепления балки: х=0, y=0, =0; x=L, y=0. Подставляем их в два последних уравнения, находи постоянные интегрирования С и D и неизвестную реакцию RB. Далее из урав-ний статики: HA=0; RA – qL + RB=0; RBL – + MA=0; находятся RA и MA.



Уравнение совместности перемещений. Статически определимая балка, которая получается из статически неопределимой при удалении "лишнего" закрепления, называется основной системой. За "лишнюю" неизвестную можно взять любую из реакций. Приложив к основной системе заданные нагрузки добавляем условие, которое обеспечивает совпадение заданной балки и основной – уравнение совместности перемещений. Для рис.: yB=0, т.е. прогиб в точке В = 0. Решение этого уравнения возможно разными способами.

Способ сравнения перемещений. Определяется прогиб точки В (рис.) в основной системе под действием заданной нагрузки (q): yВq=. Далее рассматривается основная система под действием "лишней" неизвестной RB, и находится прогиб от действия RB: . Подставляем в уравнение совместности перемещений: yB= yВq += 0, т.е. += 0, откуда RB=, далее остальные реакции находятся из уравнений статики.

Теорема о трех моментах. Используется при расчете неразрезных балок — балок на многих опорах, одна из которых неподвижна, остальные подвижны. Для перехода от статически неопределимой балки к статически определимой основной системе над –лишними опорами вставляются шарниры. Лишними неизвестные: моменты Mn, приложенные к концам пролетов над лишними опорами. Строятся эпюры моментов для каждого пролета балки от заданной нагрузки, рассматривая каждый пролет, как простую балку на двух опорах. Для каждой промежуточной опоры "n" составляется уравнение трех моментов:

n,n+1–площади эпюр, an – расстояние от центра тяжести левой эпюры до левой опоры, bn+1 – расстояние от центра тяжести правой эпюры до правой опоры. Число уравнений моментов равно числу промежуточных опор. Совместное их решение позволяет найти неизвестные опорные моменты. Зная опорные моменты, рассматриваются отдельные пролеты и из уравнений статики находятся неизвестные опорные реакции. Если пролета всего два, то левый и правый моменты известны, т.к. это либо заданные моменты, либо они равны нулю. В результате получаем одно уравнение с одним неизвестным М1.
скачать файл



Смотрите также:
Определение перемещений в балках при изгибе
42.86kb.
1. Цель работы Экспериментальная проверка теоретических зависимостей для определения напряжений и перемещений при косом изгибе
360.38kb.
Задание №1-4 Каждый вариант задания содержит 6 задач, из них
116.85kb.
Вступ у будівельну механіку. Кінематичний аналіз. Утворення і аналітичний розв’язок багатопрогонових шарнірних балок. Теорія лінії впливу. Побудова ліній впливу в двоопорних балках та багатопрогонових шарнірних балках
105.54kb.
Метод определения прочности покрытия при изгибе вокруг цилиндрического стержня
188.69kb.
Материалы стеновые. Методы определения пределов прочности при сжатии и изгибе
93.68kb.
Лабораторная работа №1-к определение скорости пули при помощи
153.16kb.
-
156.09kb.
Задание: соотнесите понятие и логическое определение
9.62kb.
Сильно связные компоненты Определение
65.48kb.
Из истории хутора куликовского
152.83kb.
Работа №1. Измерение β-излучения 40К счетчиком Гейгера-Мюллера. Определение содержания калия в различных химических соединений и пищевых продуктов
111.03kb.