takya.ru страница 1
скачать файл
программа по математической физике 2007

(коллоквиум и экзамен)

Постановка задач математической физики

Вывод уравнения колебаний струны, постановка задач для уравнения колебаний. Вывод уравнения теплопроводности, постановка задач для уравнения теплопроводности. Классификация уравнений второго порядка. Вычисление производных решения на поверхности. Характеристики и задача Коши. Корректность задач математической физики, пример Адпмара.



Интегральные операторы

Непрерывность интегральных операторов. Интегральные операторы со слабой особенностью, компактность интегральных операторов со слабой особенностью.



Задача Штурма-Лиувилля

Лемма об оценке квадратичной формы, теорема единственности для задачи Штурма-Лиувилля. Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля. Задача Штурма-Лиувилля и интегральное уравнение. Собственные числа и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля



Гармонические функции

Фундаментальное решение оператора Лапласа, формулы Грина. Интегральное представление функций класса C^2, Интегральное представление для гармонической, финитной функций. Дельта-функция, фундаментальное решение и обобщенные функции.

Теорема о среднем, принцип максимума. Постановка задач Дирихле, теоремы единственности. Постановка задач Неймана, условия разрешимости, теоремы единственности. Задача Дирихле в шаре – вывод формулы Пуассона Разрешимость задачи Дирихле в шаре - оправдание формулы Пуассона Следствия из формулы Пуассона - обратная теорема о среднем, теорема Лиувилля, неравенство Харнака. Объемный потенциал и неоднородное уравнение Лапласа. Теоремы о разрешимости краевых задач (формулировки).
Предыдущие пункты – материал коллоквиума.
Необходимо знать: выражение для интеграла по поверхности, многомерную формулу интегрирования по частям, основные понятия функционального анализа – свойства непрерывных и компактных операторов, теоремы Фредгольма.

Программа экзамена:




Обобщённые производные


Определение и простейшие свойства обобщённых производных по Соболеву. Замкнутость дифференцирования. Функция, обобщённые производные которой нули – константа*. Обобщённые производные на отрезке и абсолютная непрерывность функции. Примеры вычисления обобщённых производных.
Пространства Соболева

Пространство $H^1(\Omega)$, полнота. Пространство $H^{1,0}(\Omega)$, оператор продолжения нулём. Неравенство Фридрихса. Распространение по непрерывности. Эквивалентные нормы в $H^{1,0}(\Omega)$. Теорема Реллиха*.


Обобщённое решение краевой задачи

Определение обобщённого решения задачи Дирихле. Обобщённое и классическое решения задачи. Теоремы единственности для обобщенного решения. Энергетическое пространство, сведение краевой задачи к абстрактному уравнению в энергетическом пространстве. Исследование абстрактного уравнения. Разрешимость краевой задачи. Собственные числа оператора краевой задачи, сходимость рядов Фурье по собственным функциям. Схема метода Фурье. Классическая разрешимость смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

Минимум квадратичного функционала. Вариационные свойства собственных чисел*. Проекционный метод для приближенного решения краевой задачи. Метод конечных элементов*.

Задача Коши для уравнения теплопроводности


Преобразование Фурье. Вывод формулы Пуассона для решения задачи Коши. Сходимость интеграла Пуассона, теорема существования решения задачи Коши. Теорема единственности решения задачи Коши. Следствия из формулы Пуассона – принцип максимума, бесконечная скорость теплопередачи.
Задача Коши для волнового уравнения

Характеристический конус, энергетическое неравенство, теорема единственности для волнового уравнения. Решение неоднородной задачи Коши, принцип Дюамеля. Решение задачи Коши в трехмерном пространстве. Решение задачи Коши в двумерном пространстве. Распространение волн. Колебания полуограниченной струны.



Вопросы со звёздочкой – для ответа на тройку требуются лишь формулировки и их понимание.
ЛИТЕРАТУРА

  1. С.Г. Михлин. Курс математической физики // М., Наука, 1968.

  2. В.С. Владимиров. Уравнения математической физики. Изд.5 // М., Наука, 1988.

  3. М.А.Шубин. Лекции об уравнениях математической физики. // М., МЦНМО, 2001.
скачать файл



Смотрите также:
Постановка задач математической физики
34.53kb.
Вывод основных уравнений курса математической физики. Постановка начальных и граничных условий для уравнений математической физики
59.79kb.
3. Линейное программирование. Математические модели задач планирования и управления. Общая постановка задач оптимизации. Различные формы записи задач лп и их эквивалентность. Приведение задачи к каноническому виду
154.02kb.
Курс «Основы математического моделирования» является продолжением и развитием курса «Методы математической физики», читаемого в 5 семестре
255.59kb.
Программа курса А. Ф. Никифорова «Специальные функции математической физики»
9.67kb.
Поиск малого параметра в расчете решеточных сумм для задач кристаллографии
15.11kb.
Цель изучения дисциплины: Обучение студентов основам теории вероятностей и математической статистики; развитие у студентов навыков построения теоретико-вероятностных моделей
67.65kb.
Спектральная теория и уравнения математической физики
16.22kb.
Структура научного общества учащихся
128.01kb.
Программа дисциплина «Уравнения математической физики»
14.44kb.
Целями и задачами дисциплины является формирование знаний и современных представлений в области физики и химии поверхности, а также об основных методах исследования и модификации поверхности
29.79kb.
1. Вывод трехмерного уравнения теплопроводности. Постановка граничных задач
25.83kb.