takya.ru страница 1
скачать файл
Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 3» г.Канаш Чувашской Республики



Рациональные

Уравнения



Программа элективного курса учащихся 8,9 классов


Учитель: Щербинская Т.Б.

Канаш 2006 г.


Рациональные уравнения

Программа элективного курса для учащихся 8-9 классов




Пояснительная записка


Цель курса: Создать целостное представление о классификации рациональных уравнений, расширить спектр задач, посильных для учащихся, необходимых в качестве подготовки к вступительным экзаменам в ВУЗ.

На изучение данной темы отводится 9 часов, из них 2 часа- на определение успешности усвоения материала.


Учебно-тематический план


№№ п/п

Наименование разделов и тем

Всего часов

1.

Понятие рационального уравнения

а).Уравнения первой степени,

уравнения, содержащие параметры

б). Уравнения второй степени,

уравнения, содержащие параметры

в).Трехчленные уравнения



3 часа

2.

Возвратные уравнения четвертой степени.

Решение уравнений высших степеней с помощью теоремы Безу



2 часа

3.



Решение уравнений высших степеней методом неопределенных коэффициентов

Решение уравнений методом сведения к системе.



1 час

2 часа


4.

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины

2 часа

5.

Проверка знаний учащихся

2 часа


Содержание программы
Тема 1. Понятие рационального уравнения, уравнения первой , второй степени.

На первом занятии учащимся сообщается цель и значение элективного курса, систематизируются знания учащихся о рациональных уравнениях, развивая их на примере решений уравнений с параметрами ,решению которых не отводится время в школьном курсе (учащиеся испытывают страх при виде их, не пытаясь их решить). Лучшему осмыслению учебного материала послужит составление справочной таблицы. Предлагается система вопросов и упражнений.


Тема 2.Определение возвратного уравнения.

Решение методом введения новой неизвестной.

Деление многочленов по схеме деления уголком.

Теорема Безу. Случаи, когда остаток равен нулю и не равен нулю.

Предлагается система вопросов и упражнений.
Тема 3. Решение уравнений высших степеней

а) методом неопределённых коэффициентов,

б) методом сведения и системе.

Показывается схема составления системы для определения новых коэффициентов уравнения

аx4+bx3+cx2+dx+e=(mx2+px+q) (nx2+ rx+s)=0,

а также уравнения, которые путем введения новых переменных сводятся к решению системы.



Тема 4. Решение уравнений, содержащих абсолютную величину.

Систематизация знаний учащихся, решение уравнений методом интервалов, графически.


Тема 5. Проверка знаний учащихся по темам 1,2,4 путем

-решения задач самостоятельно,

-построение метода, позволяющего решить предложенную задачу.

Литература:

1.Гараев К.Г., Исханов Э.М. Пособие для поступающих в ВУЗы.

2.Сканави М.И. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в ВУЗы.

Дидактические материалы к элективному курсу:

«Рациональные уравнения»
§1.Теоретическое содержание элективного курса.
П.1. Тема 1. Понятие рационального уравнения, уравнения первой, второй степени.
Определение 1.

Уравнение вида Pn(x) = 0, где Pn(x)=aoxn+a1 xn-1+ … +an-1 x+an ;

Qm(x)

Qm(x)=boxm+b1xm-1+ … +bm-1 x+bn
многочлены с действительными коэффициентами соответственно степени n и m называется рациональным.
Определение 2.

Уравнение вида aoxn+a1 xn-1+ … +an-1 x + an =0 (ao 0) называется алгебраическим уравнением n-ой степени.
Уравнения первой степени

Определение.

Уравнение вида А х=В,

где А,В-алгебраические выражения (могут зависеть от параметров),

х-неизвестное, называется линейным.
Решить уравнение –значит найти множество всех его корней или доказать, что оно их не имеет.
Схема исследования линейного уравнения.

1).Если А = 0, то имеем 0 * х = В, уравнение не имеет корней (х Ǿ)

Если В = 0, то уравнение имеет вид О * х =0 и удовлетворяется при любом х, т.е. решением будет

множество всех действительных чисел (х Є R)

2).Если А 0, то уравнение имеет единственное решение х =


П.2. Задачи и упражнения.

Пример 1.Для всех значений параметра К решить уравнение (К+4)* х=2К+1.

Решение:
1).Если К + 4 = 0, т.е. К = - 4, то уравнение имеет вид 0 * х = - 7, это уравнение не имеет решений, х Є Ǿ.

2. Если К + 4 ╪ 0. т.е. К ╪ - 4, то обе части можно делить на К + 4. Тогда х = .

Ответ: Если к = - 4, х Є Ǿ;

Если к ╪ - 4, х = .

Пример2.Для всех значений параметра a решить уравнение

* (а – 1) * х + 3а – 4 = 0

Решение: Запишем уравнение в стандартном виде



* (а – 1) * х = 4 - 3а

1).Если * (а – 1) = 0, т.е. а = , то 0 * х = 0.

Это равенство верно при любом х. Следовательно, х Є R.
2). Если а ╪ , то х = = - 4.

Ответ: если а = , то х ,





Если а ╪ , то х = - 4


Пример 3. Для всех значений параметра решить уравнение:

2- 1) * х = р3 + 1.

Решение:


  1. р2 – 1 = 0, т.е. р = ±1

если р = 1,то 0 * х = 2, х Є Ǿ

если р = -1, то 0 * х = 0, х Є R


2) р2-1╪ 0, р ╪ ±1,то х = = =

Ответ: если р =1, х Є Ǿ

если р = -1, х Є R

если р ╪ ± 1, х =


Пример 4. Для всех значений параметров а и в решить уравнение


(а - 2) * х= 4а + 3в.

Решение: 1) а = 2, то 0 * х = 8 + 3в

Если 8 + 3в ╪ 0, в - , то х Є Ǿ

если в = - , то 0 * х = 0, х Є R.

2) а - 2 ╪ 0, а ╪ 2, то х =

Ответ: при а= 2, в╪ - 8 , х Є Ǿ

3

при а=2, в= - 8 , х Є R

3

при а╪ 2, в-любое, х =



Пример 5.Для всех значений параметра а решить уравнение:

* х = а2 + а + 1.

Решение: если а = 1, то х Є Ǿ,

если а ╪ 1, то умножив уравнение на а –1, получим ах = а3-1.

Тогда: 1) если а = 0, то 0 * х = -1, х Є Ǿ,

2) а ╪ 0, то х =

Ответ: Если а = 0 или а = 1, то х Є Ǿ,

если а ╪ 0 и а ╪ 1, то х =

Пример 6. Для всех значений параметра а решить уравнение:

=

Решение: При а = -1 уравнение не имеет смысла, т.е. х Є Ǿ

При а ╪ -1 уравнение равносильно системе

, ,

1.Если а = , то уравнение в системе примет вид 0* х = - , х Є Ǿ

2.Если а = ,то х =

Если х = 2а, т .е. система не имеет решений, имеем:



= 2а .

Следовательно, при а = 0 или а = -1 исходное уравнение также, как и при а = , не имеет решения.

Ответ: Если а - 1; 0; , то х Є Ǿ

Если а - 1; 0; , то х = .



Пример 7. Для всех значений параметра а решить уравнение:

=

Решение: Уравнение равносильно системе.



,

  1. Если а = 2. то уравнение в системе имеет вид

0* х = -7, х Є Ǿ

2.Если а ╪ 2, то х = ,

Найдем значения параметра а, при которых х = 2а или ах = 1. Имеем:

,

а = ±

а = ± , таким образом, если а = ± , то исходное уравнение не имеет решения.

Ответ: Если а Є , то х Є Ǿ


Если а , то х = .
Задачи для самостоятельного решения.
№1. (5р + 1) х = 25р2+ 10р +1 = 0

Ответ: если р = -, то х Є R

если р ╪ - то х = -5р -1.

№2. ах – а = х – 1

Ответ: если а = 1, то х Є R,

если а ╪ 1, то х = 1.

№3.(р2- 4) х = р2 + р – 2

Ответ: если р = 2, х Є Ǿ ;

если р = - 2, то х Є R,

если р ╪ ±2. то х = .

№4. (р2 –1) х – р2 + 2р – 1 = 0

Ответ: если р = 1, то х Є R;

если р = -1, х Є Ǿ ;

если р ╪ 1, то х = .

№5. (m - 3) х + m + 2р = 0

Ответ: если m = 3. р =, то х Є R;

если m = 3 и р ╪ - , то х Є Ǿ ;

если m ╪ 3, то х = .

№6. (а - 2в) х + а + в = 3

Ответ: если а = 2, в =1, то х Є R;

если а = 2в, в╪1, то х Є Ǿ ;

если а ╪ 2в, то х = .

№7. * х = а2 - 1

Ответ: если а = -1, то х Є R;

если а = - 2, то х Є Ǿ ;

если а ╪ - 2 и а ╪ -1, то х = а2 + а – 2.

№8. а + =

Ответ: если а = 1, то х (-∞; 10) (1; ∞);

если а = 0 или а = -1, то х Є Ǿ ;

если а ╪ 0, а ╪ 1, то х = .

№9. -= 0

Ответ: Если а Є {-2; -1; 0}, то х Є Ǿ ;

если а ¢ {-2; -1; 0}, то х = ;

№10. =

Ответ: если а = 0, в - любое или в = -а, х Є Ǿ;

Если а ╪ в, в ╪ -а, то х = - .


п.з. Квадратные уравнения , содержащие параметры.

Опр. Уравнение Ах2 + Вх + С = 0. где А,В,С- выражения, зависящие от параметров, А╪ 0,

а х- неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.

Схема исследования:



  1. Если А = 0, то имеем линейное уравнение Вх + С = 0.

  2. Если А╪ 0 и дискриминант Д = В2 – 4А <С <0, то уравнение не имеет действительных корней.(х Є Ǿ).

  3. Если А ╪ 0, Д = 0. то уравнение имеет единственное решение х = - или еще говорят.

Совпадающие корни х1 = х2 = -

4.Если А╪ 0, Д > 0, то уравнение имеет два различных корня

х1,2 = -

Пример 1. Найти все решения параметра а, для которых уравнение:

(а – 1) х2 + 2(2а + 1) х + 4а +3 = 0

а) имеет два различных корня;

б) не имеет корней;

в) имеет один корень.

Решение: Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а – 1 ╪ 0,

а╪ 1.

Рассмотрим дискриминант уравнения: Д = 4 (2а+1)2 – 4 (а –1) (4а + 3) = 4 * (5а+4).



Согласно схеме исследования, имеем:

а) ,

б) a < - ,

в) а = -

Ответ: Если а > - , а = 1 уравнение имеет 2 корня

и если а = - , то один корень,

если а < - не имеет корней.
Пример2. При каких значениях параметра а уравнение:

( а + 6) х2 +2ах + 1= 0 имеет единственное решение.

Решение: 1) а + 6 = 0, а = - 6,то линейное уравнение –12х + 1 = 0 имеет

единственное решение.

2) если а ╪ - 6, а Д = 4а2- 4 (а + 6) = 4(а2 – а – 6) = 0,

т.е. а2 – а – 6 = 0 а1 = 3, а2 = -2 .

Ответ: а Є{ - 6; -2; 3 }.



Пример3. При каких значениях параметра а уравнения:

2- а – 2) х2 + (а + х) + 1= 0 не имеет решений.

Решение: 1) Если а2 – а – 2 = 0. т.е. а1= 2, а2 = -1уравнение является линейным 3х + 1= 0

имеет решение при а = 2 .

При а = -1 уравнение 0 * х2 + 0 * х +1 = 0 не имеет решений.

2) при а ╪ 2,а ╪ - 1 и

Д = (а + 1)2 - 4( а2 - а – 2) = -3а2 +6а + 9 = -3(а - 3) (а + 1)< 0, т.е. (а – 3) (а+1) >0

а Є( - ∞; -1) Ụ (3; ∞ ), не имеет решений

Ответ: при аЄ ( -∞; -1 Ụ (3; ∞ ).



Пример 4. При каких значениях а и в уравнение (а2+ а - 6) х2 + (а – в + 4) х+ а2 + 4а + 3 = 0

имеет не менее трех различных решений.

Решение: Если квадратное уравнение или линейное уравнение имеет более двух решений,

то оно имеет бесконечно много решений. Это возможно тогда и только тогда,

когда уравнение примет вид 0 * х2 + 0 * х + 0 = 0,



т.е. а2 + а – 6 = 0 а1= 2, а2 = - 3

а – в + 4 = 0 ⇔ в = а + 4 ⇔

а2 + 4а + 3 =0 а3 = - 1, а4 = - 3


а = - 3


⇔ в = 1

Ответ: при а = - 3; в = 1.



Пример 5. Для всех а решить уравнение:

(а – 1)*· х2 – 2а х + а + 2 = 0.

  1. Решение:1) а = 1, то -2х + 3 = 0 => х =

  2. а ╪ - 1, то Д = 4а2 – 4 ( а – 1)(а + 2) = - 4а + 8.

а) а > 2, уравнение не имеет решений.
б) а = 2, то х = == 2

в) уравнение имеет два корня

х1,2 = =

Ответ: если а = 1. то х = ;

если а = 2, то х = 2
если а = 2, то х Є Ǿ

если а = 2, а ╪ 1, то х = .



Задачи для самостоятельного решения.
№1. (а – 1) х2 + 2 (2а + 1) х + 4а + 3 = 0

Ответ: если а<- , то х Є Ǿ;

если а = 1, то х = - ;

если а = - , то х = - ;

если а Є ( - ; 1) Ụ (1; ∞), то х =

№2. 3х2 – 5ах - 2а2 = 0

Ответ: х Є{2 а; - }для любого а.

№ 3. =

Ответ: Если а = -1,то х Є Ǿ

Если а = 3,то х = 6

Если а ╪ -1, а ╪ 3,то х Є{а - 3; а -1}

№4. (а + 3)х2 -(3а + 1)х + 4 = 0

Ответ: Если а = -3, х =

если а Є (1/5;1),х Є Ǿ

если а = 1,х = 1/2;

если а Є (-∞;-3)U(-3;1/5) U(1; ∞), то

х =

№ 5 - =

Ответ: Если а = 0,то х Є(-∞;0) U(0; ∞ )

Если а ╪ 0, то х Є Ǿ.


Пособие: В.Мочалов,В.Сильвестров “Уравнения и неравенства с параметреми”.
П.4. Трёхчленные уравнения.

Опр. Уравнения вида.

(1) ах2п +вхп +с = 0(а ╪ 0,п Є N)

при п = 2 получаем биквадратное уравнение.

Подстановкой хп = t уравнение (1)сводится к квадратному

аt2 +вt2 +c = 0
§2. п.1. Возвратные уравнения четвёртой степени.

Опр. Уравнения вида.


  1. ах4 + вх3 + сх2 + dх + е = 0 (а ╪ 0, е ╪ 0) называется возвратным,если имеет место равенство =


Схема решения:
Так как х ╪ 0, то разделив это уравнение на х2 и сгруппировав члены, равноудаленные от концов, получим эквивалентное уравнение:

а+ в + с = 0


Полагая t = х + , с учетом условия (2 ) получим

х2 + = х2 + = - 2 *

Относительно нового неизвестного после несложных преобразований получим квадратное уравнение: а2 + вt + c – 2а * = 0 (3)

значения х найдем из совокупности уравнений х + = t1, х += t2, где t1, t2 – корни уравнения (3)


Замечание.

Если d = в, то уравнение называется симметрическим, если же d = - в - кососимметрическим.

Пример. Решить уравнение:

4 – 21 х3 + 74 х2 – 105х + 50 = 0.

Решение: Здесь а = 2, в = - 21, с = 74, d = -105, е = 50.

Условие (2) имеет место, т.к. = =

Разделив обе части уравнения на х2 и сгруппировав члены, равноудаленные от концов, получим: 2 * (х2 + ) – 21 * (х + ) * 74 = 0

положим t = х + , тогда х2 + = t2 – 10.

Решая квадратное уравнение

2 (t2 – 10) – 21t +74 = 0, 2t2 – 21 t + 54 = 0, получаем t1 = 6, t2 = .

Корни исходного уравнения находятся из совокупности уравнений:

Ответ: х1= 1, х2 = 5, х3 = 2, х4= .


Задачи для самостоятельного решения.
№1. х4 + 2х3 – 18 х2 – 10 х +25 = 0
Ответ: х1 = - 5, х2 = 1, х3,4 = 1 ± .
№2. х4 – 2х3 – х2- 2х + 1 = 0.

Ответ: х1,2 = .

№3. 2х4+ 3х3 –13х2 –6х + 8 = 0

Ответ: х1= -1, х2 = 2, х3,4 =

№4. х4 –2х3 – х2 –2х + 1= 0

Ответ: х1,2 =



п.2. Деление многочленов.

Разделить многочлен

Р(х) =а0 * хп + а1 хп-1 + … +ап-1 * х + аn на многочлен

Q(х) = в0 * хm + в1* хm – 1 + …+ вm-1 • х + вm

с остатком означает: представить многочлен Р(х) в виде


  1. Р(х) = Q(х) М(х) +R(х), где М(х) (частное) и R ( х) (остаток) – многочлен, причем степень Р(х) меньше степени Q(х) или R (х) =0(деление без остатка).

Обычно деление многочленов удобно выполнять по схеме «деления уголком».

Примеры: 4 – х3 +3х2 –5х+6 │ х2+х+1

-4+2х3+2х2 │2х2 – 3х +4

-3х3 + х2 – 5х – 6

- 3 – 3 х2 – 3х

2 – 2х +6

- 4х +4х +4

-6х+2

Здесь М(х) = 2х2-3х + 4, Р(х) = - 6х + 2, имеет тождество



4 – х3 + 3х2 –5х + 6 = (х2 + х + 1) (2х2 – 3х + 4) + ( -6х + 2).

№2. х3+1 │ х+1

- х32 │х2 – х + 1

2+1

- 2 – х

х+1


- х+1

0 Здесь R(х) =0.



Задачи для самостоятельной работы.
Учебник: Алгебра- 9, Алимов.

Глава 1, §1.


П.3. Теорема Безу.

Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х – а равен значению многочлена при х = а, т.е. R = Р(а). Действительно, в случае деления Р(х) на двучлен х – а, равенство (1) примет вид Р(х) = (х – а) М(х) +R , где R- некоторое число. Рассматривая это тождество при х = а,

получим R = Р(а) ч.т.д.

Опр. Число а называется корнем многочлена Рп(х), если Рп(а) = 0.
Следствие. Если а – корень многочлена Р (х), то этот многочлен делится без остатка на двучлен х-а.

Действительно, если а – корень многочлена Р(х), то Р(а)=0 и, следовательно, согласно теореме Безу имеем R=Р(а)=0.

Для отыскания корней алгебраического уравнения п-ой степени с целыми коэффициентами: (*) а0хп + а1хп-1 +… + ап-1* х + ап = 0

может оказаться полезным следующее утверждение.



Теорема.

Для того, чтобы несократимая дробь , была корнем уравнения (*), необходимо, чтобы р было делителем свободного члена ап, а q – делителем старшего коэффициента а0.



Следствие. Целые корни могут быть только среди делителей свободного члена ап.
Примеры.

№1. х4+ х3 + х2+ 3х + 2 = 0

Решение: Здесь свободный член равен 2. Целые корни этого уравнения согласно следствию следует искать среди чисел ±1 ; ±2.Ясно, что числа +1 и +2 сразу отпадают; число – 2 также не удовлетворяет уравнению, но –1 является корнем уравнения, т.к.

(-1)4 + (-1)3 + (-1)2 +3 (-1) + 2 =0.

Для нахождения остальных корней воспользуемся следствием теоремы Безу.

х4+ х32 +3х +2 | х+1

- х43 3+х+2

х2+3х+2

- х2

- 2х+2


2х+2

0

Легко проверить, что многочлен х3 + х + 2 имеет своим корнем число –1. Тогда



х3+ х+2 | х+1

- х32 | х2 –х +2

2 + х

- 2 – х

2х+2

- 2х+2



0

Уравнение х2- х + 2 = 0 действительных корней не имеет.

Ответ: х1,2 = - 1

№2. 10х3 – 3х2 –2х = 0.

Решение: Делители свободного члена ±1.

Однако, проверка показывает, что они не являются корнями данного уравнения, следовательно, оно не имеет целых корней. Делая подстановку х = , после преобразований получим t3 –2t2 –3t +10 = 0.

Проверяя делители свободного члена ±1, ±2, ±5, ±10, убеждаемся, что корнем преобразованного уравнения является только число –2. Выполняя теперь деление левой части указанного уравнения на разность t +2, получим: t3 – 2t2 – 3t +10=(t+2) (t2 – 4t +5), т.к. Д < 0, то t = - 2.

Ответ: х= -1 .



2

Задачи для самостоятельного решения.
№1. 36 х4+ 12х3 – 11х2 –2х + 1 = 0.

Ответ: х1,2 = - ; х3,4 = .


Учебник: Алгебра-9, Алимов,

Глава 1, §1, п.2.


§3. Решение уравнений высших степеней методом неопределенных коэффициентов.

Пример: Решить уравнение: х4 + 3х3 – 6х2 – 11х +15 = 0.

Решение :Представим левую часть этого уравнения в виде

х4 + 3х3 – 6х2 –11х +15 =(х2 + рх + q)(х2 + rх + s),

где р,q,r,s – неопределенные пока коэффициенты, которые будем искать на множестве целых чисел, т.к. два многочлена тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны х равны, то для определения p, q, r,s получаем систему:


3 = p + r

-6 = s + q + pr

-11 = ps + qr

15 = qs

т.к. решение системы отыскивается на множестве z, то из последнего уравнения следует, что для q возможны следующие значения: ±1, ±3, ±5, ±15.



Умножая первое уравнение на –q и складывая его с третьим, получим р(s-q) =- 3q –11, откуда, учитывая, что S = , для р получим формулу р= q * .

Схему вычисления целых корней системы можно представить в следующем виде:



  1. задаем значение q и вычисляем р;

  2. если р Є t, то r = 3 – р.

  3. S : S = 15.

q

  1. проверяем, удовлетворяют ли вычисленные значения р, q,r,s второму уравнению

(вычисляется правая часть этого уравнения).

Результаты расчетов сведены в таблицу:




q

1

-1

3


-3

5

-5

15

-15




P

-1

4

7


-10

1

13

2

4

17/7




S

15




5


-5

3

-3

1







r

4




13


2

-10

1

-1







S+q+pr

12




-128


-6

-128

-6

12






Из таблицы видно, что возможны два случая разложения:



  1. р = 1; q = - 3; r = 2; s = -5.

  2. Р = 2; q = - 5; r =1, s = -3.

Однако оба случая приводят к одной и той же совокупности квадратных уравнений:

х1,2 = ; х3,4=-1 ± .


Задачи для самостоятельного решения:
№1. х4 – 4х3 –10х2 +37х – 4 = 0

Ответ: х1,2 = ; х3,4 = - .

№2. х4 + х3 – 2х2 + 12х –16 = 0

х1,2 = -1 ± .



§4. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.

П.1. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком абсолютной величины,

Решается путем сведения его к некоторой совокупности уравнений обычного типа,



т.е. не содержащих неизвестное под знаком абсолютной величины

х, если х ≥ 0,

| х | =

- х, если х < 0.


Свойства абсолютной величины:

1 .| х | ≥ 0

2 .| х |2 = х2

3. | -х | = х

4. | х | < а ⇔ - а < х < а

5.| х | > а ⇔ х > а

х < - а
6.| х + у | ≤ | х | + |у| (неравенство треугольника)

7.|ху| = |х | * |у| ; = , (у ≠ 0)

|f(x)| = f(x), если f (х)≥ 0

-f (x), если f(x)< 0.



Пример: | х + 1| =|3 – 2х|.

х + 1, если х≥ - 1

1 способ: |х+1|= -х - 1, если х< -1



3 – 2х, если х 3

2

|3 – 2х| =



-(3 – 2х), если х > 3

2

Отметим на числовой прямой те точки, для которых каждое выражение под знаком модуля обращается в нуль. Эти точки разбивают числовую прямую на 3 промежутка:






__1___________2_____________3___ х

-1 3

2

1).Пусть х< -1, то | х + 1| = - (х +1), |3 – 2|= 3 – 2х.



Исходное уравнение запишется в виде – (х +1) = 3 – 2х => х = 4.

4 ¢ (-∞; -1), то уравнение не имеет решений.

2) -1≤ х ≤ 3

2

Здесь │х + 1│= х + 1, │3 – 2х│= 3 – 2х.



Уравнение примет вид х + 1 = 3 – 2х => х=2

3

2 Є - 1; 3

3 2 .


  1. х >3 , |х + 1|= х +1, | 3 – 2х |= -3 + 2х

2

то х + 1 = -3 + 2х => х = 4, 4 > 3 верно

2

Ответ: х1 = 2; х2 = 4.



3


  1. способ (графический).

Построим графики функций: у= х+1, у2 = 3 – 2х и найдем от их точки пересечения:



у

| х1=2

3,

у=|х+1| -у=|3 – 2х|



| х2 = 4.

|

-



|

1

| |



2 1 3 2 4 х

-1 3 2

3 способ. Так как при всех х обе части исходного уравнения неотрицательны, то с

учетом Св.2 абсолютной величины, получим:

| х +1| =|3 – 2х| ⇔ (х +1)2 = (3 – 2х) 2

⇔ 3х2- 14х + 8 = 0, откуда х1 = -2 , х2 = 4.

3
Задачи для самостоятельного решения.
1. |3х -5|= |5 – 2х|

2. |х - 1| + |х - 3| = 3

3. |х - 2| =3 * |3 - х|

4. 2х2 – 5*| х | + 3 = 0

5. х2 + 4· |х - 3| - 7х +11 = 0

6. | |х - 1| +2 | = 1.



Пособие: Задачи по математике.

Уравнения и неравенства. Вавилов В., Мельников В.
скачать файл



Смотрите также:
Программа элективного курса учащихся 8, 9 классов Учитель: Щербинская Т. Б. Канаш 2006 г. Рациональные уравнения
182.39kb.
Программа элективного курса «Карликовые государства Евразии»
74.8kb.
Программа элективного курса «Процентомания»
105.33kb.
Программа элективного предмета для учащихся 11 классов "молекулы жизни" (34 часа)
115.6kb.
Программа элективного курса «Секреты английского языка» для учащихся 10-11 классов
89.83kb.
Действительные числа. Рациональные уравнения и неравенства
231.04kb.
Программа элективного курса «основы избирательного права»
240.65kb.
Программа элективного курса
60.68kb.
Учебная программа элективного курса «Теория и практика написания сочинения-рассуждения» Элективный курс для учащихся 9 классов
116.46kb.
Габриелян О. С. Программа курса химии для 8 11 классов общеобразовательных учреждений 3-е изд., стереотип
289.09kb.
Рабочая программа для элективного курса по математике «Процентные расчеты на каждый день»
70.47kb.
Программа курса «Учись писать грамотно» рассчитана на учащихся 9-х классов
112.11kb.