takya.ru страница 1
скачать файл



4. Приведене уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
Решение этой задачи рассматривается на конкретном примере в достаточно общем виде,

что позволяет, меняя исходные данные в интерактивном режиме, решать класс подобных

задач не только численно, но и символьно.

В записи кривой второго порядка, представляющей многочлен, будем выделять его квадра-

тичную часть и линейную. Пусть задана матрица А квадратичной части многочлена, имею-

щая размерность n.

n:=2: A:=matrix(n,n,[3,5,5,3]):

evalm(A); det(A):



Введем вектор координат в исходном базисе

x:=vector(n,[]):evalm(x);

и запишем саму квадратичную форму в этом базисе:



Отметим, что квадратичная форма q имеет линейную часть, записанную в общем виде че-

рез коэффициенты a, b, c. Чтобы выдержать общий векторно-матричный стиль записи и

преобразований, введем для линейной части вектор AL

AL:=vector(n,[]):evalm(AL);

полагая в дальнейшем AL[1]=a, AL[2]=b. Тогда квадратичную форму q можно записать как

qm:=multiply(transpose(x),A,x)+evalm(AL&*x)+c; (1)

Для построения графического образа квадратичной формы q заменим коэффициенты a, b, c

конкретными значениями и запишем её под именем qgr.

ВНИМАНИЕ. Задайте параметры:

qgr:=subs(a=-2,b=-14,c=-13,q):qgr=0;



Вычислим точки пересечения кривой qgr=0 с осями координат {x1,x2}, необходимые для

конкретного выбора области определения кривой 2-го порядка:

qm1:=subs(x[2]=0,qgr);qm2:=subs(x[1]=0,qgr);





solve(qm1=.0,x[1]); solve(qm2=.0,x[2]);





и построим график неявно заданной функции qgr=0.



Внимание! Правильно выберите диапазоны изменения переменных, чтобы корректно по-

строить график.



Проведем вычисление собственных векторов в их привязке к собственным числам,

используя в дальнейшем только опцию eigenvects

kev:=eigenvects(A);

Отметим, что приводимые в eigenvects собственные векторы придется нормировать.

Результат этой операции будем записывать в матрицу V.

Вычисленные таким образом собственные векторы ортогональны и образуют столбцы мат-

рицы V, являющиеся координатами некоторого ортонормированного базиса {V[i]}, в кото-

ром матрица А имеет диагональный вид AD.

V:=matrix(n,n,[]):

for i from 1 to n do

for j from 1 to n do

V[j,i]:=kev[i][3][1][j]: od:

H[i]:=sqrt(add(V[k,i]^2, k=1..n)):

for m from 1 to n do

V[m,i]:=V[m,i]/H[i]: - нормирование вектора V

od:od:


Проведем визуализацию и контроль вычисленных компонент вектора V:

evalm(V); col(V,1): evalm(col(V,1)[2]): det(V):



В интерактивном режиме, меняя номера i столбцов, можно убедиться в ортонормирован-

ности собственных векторов col(V,i).

dotprod(col(V,1),col(V,1));



Покажем на графике рис.2 взаимное положение квадратичной формы qgr и ортонормиро-

ванного базиса {V[i]}, имеющего на рисунке положительные полуоси V1 и V2.

Вычислим обратную матрицу

evalm(V^(-1));

Из двух последних преобразований для V следует равенство обратной и транспонирован-

ной матриц , чего требует квадратичная форма. Столбцы матрицы V, по опреде-

лению квадратичной формы, ортогональны и являются координатами некоторого орто-

нормированного базиса, в котором матрица A имеет диагональный вид AD, определяемый

так AD=V^(-1)*A*V:

AD:=evalm(V^(-1)&*A&*V); multiply(transpose(V),A,V):

На диагонале полученной матрицы AD стоят собственные числа и мы получили подтвер-

ждение того, что квадратичная форма в базисе V будет иметь канонический вид. Соответ-

ствующее этому преобразование координат определяется соотношением X=V*y, которое

дает право записать следующие уравнения перехода к новым переменным у

y:=vector(n,[]):evalm(y): U:=vector(n,[]):

X:=evalm(V&*y);

Проводя замену в квадратичной форме q или qm=transpose(X)*A*X+AL*X+c (1) старых

переменных {x[1],x[2]} на новые {y[1], y[2]} из вектора X, получим квадратичную форму

для которой легко устанавливаются следующие тож-

дества: , где .

Кроме этого .

Вводя обозначения: и ,

получим выражение для qm:

Us[1]:=U[1]:Us[2]:=U[2]: kevs[1]:=kev[1][1]: kevs[2]:=kev[2][1]: -закрыть\открыть?

Укажем векторно-матричную запись приведенных в qm обозначений

U[1]:=evalm(AL&*col(V,1));U[2]:=evalm(AL&*col(V,2)): -закрыть\открыть?





Примечание. Если оператор закрыть апострофами, то дальше идет символьное решение.

Если открыть, то - численное.

По каждой переменной y[i], i=1,..,n в qm выделим полные квадраты pkv[i], записываемые

в виде формул таким образом

for i from 1 to n do



od:


Проведем визуализацию полученных полных квадратов

pkv[1]; pkv[2]: - идет их численное/символьное представление.



Исходя из уравнения qm=0, с учетом проведенных преобразований запишем его канони-

ческую форму, представляющую кривую 2-го порядка в общем виде qkf=1:

Введём новые переменные z[i]

for i from 1 to n do

od:


Итак, получили общий вид канонической формы кривой 2-го порядка qkf1=1.

Введем обозначения:





Тогда каноническое уравнение кривой 2-го порядка запишем в следующем виде:





ВНИМАНИЕ. Задайте параметры. Осуществим подстановку компонент вектора AL

или коэффициентов a, b, c линейной части квадратичной формы q в qkf1. Для этого доста-

точно указать их числовые значения:

AL[1]:=-2:AL[2]:=-14:c:=-13: -закрыть\открыть?

qkf1;

Таким образом получили канонический вид кривой второго порядка, представляющей

__гиперболу__, в новом каноническом базисе {V1,V2} рис.3.

Найдем смещение начала координат 0` канонического базиса {V1,V2} в исходной системе

координат {x1,x2} рис.3.

Для этого выразим начальные переменные {х} через конечные { z}

for j from 1 to n do

for i from 1 to n do

X[i]:=subs(y[j]=y1[j],X[i]): od:od:

Проведем визуализацию компонент вектора Х, представляющих зависимость старых x[i] и

новых z[i] переменных или результирующее преобразование координат:

x[1]=evalm(X[1]); x[2]=evalm(X[2]); evalm(X):





Найдем в зависимостях x[i]=X[i] свободные члены таким образом x[i]=X[i](z[i]=0):

r1:=subs(z[1]=0,z[2]=0,X[1]); r2:=subs(z[1]=0,z[2]=0,X[2]);



Именно они будут определять смещенный центр 0`(r1,r2). Таким образом начало коорди-

нат 0`V1,V2 канонической системы рис.3 смещено в точку (r1,r2), а его положительные

полуоси определяются направляющими векторами col(V,1), col(V,2) , соответствующими

собственным векторам kev[i][3].

evalm(col(V,1));evalm(col(V,2));







Проверка. Найдем точку Pi(0,1) в базисе {V1,V2}, полагая z[1]=0, z[2]=W[2]. Здесь важно

в общем виде записать формулу для определения W[2] и соответствующую ей

точку (p1,p2) в исходном базисе {x1,x2}, координаты которой определим так

p1:=subs(z[1]=0,z[2]=W[2],X[1]); p2:=subs(z[1]=0,z[2]=W[2],X[2]);





Очевидно на рис.3 эти две точки должны совпасть и находиться в точке пересечения по-

ложительной полуоси V2 кривой 2-го порядка .

qgr:=subs(a=-2,b=-14,c=-13,q):qgr=0; - перенос для более устойчивой работы графики.





В заключение укажем на обратный переход к старым переменным.


Y:=evalm(V^(-1)&*x);

После соответствующей подстановки

qx:=subs(y=Y,qm): qx:=simplify(qx);

приходим к начальной квадратичной форме qx=q=qgr. Что может служить также

проверкой.

Результирующее преобразование коордитнат x[i]=X[i] также позволяет при их подста-

новке, например, в уравнение qgr=0 привести сразу к каноническому виду кривой второго

порядка и также служит проверкой.

Выполним подстановку результирующего преобразования коордитнат x[i]=X[i]

for j from 1 to n do

qgr2:=simplify(subs(x[j]=X[j],qgr1)):

qgr1:=simplify(qgr2): od:

и процедуру деления, приводящую выражение к каноническому виду.

rr:=subs(z[1]=0,z[2]=0,qgr2):qgr2:=-qgr2/rr+1=1;



Сравнивая qgr2 с qkf1, видим их тождественность.




Константин Титов стр. 4/21/2015
скачать файл



Смотрите также:
Решение этой задачи рассматривается на конкретном примере в достаточно общем виде
121.27kb.
1. Информация и управление. Назначение и функции обратной связи
68.29kb.
Применение проблемно-диалогического метода обучения на уроках окружающего мира с использованием краеведческого материала
937.92kb.
Решение каждой задачи оформляется в виде отдельного файла с именем, представляющем собой написание латинскими буквами фамилии конкурсанта (не более 7 символов) и завершающемся цифрой 1, 2 или 3 номером решаемой задачи
116.2kb.
Решение в общем виде закон движения тела имеет вид: в нашем случае:,, = Подставим значения переменных в уравнение
70.77kb.
Описываются числа Фибоначчи, их свойства и методы вычисления. Рассматривается набор олимпиадных задач, которые решаются при помощи чисел Фибоначчи
199.81kb.
И задачи образовательного учреждени
1740.12kb.
Решение задачи текст задачи
16.09kb.
Принятие законов. Правотворчество
270.83kb.
В статье рассматривается проблема Imago alterius на примере образа Востока в западноевропейской традиции
317kb.
В общем виде ее можно представить следующим образом
11.91kb.
Порядок выдачи документов государственного образца об основном общем и среднем (полном) общем образовании, заполнения, хранения и учета соответствующих бланков документов
123.45kb.