takya.ru страница 1
скачать файл


Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с.Красавка»

Самойловского района Саратовской области
Учебный проект

по математике



Выполнила:

ученица 11 класса

Ли Альбина

Руководитель:

учитель математики

Серебрякова Е.Н.

2009г

Введение

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Цель настоящего проекта знакомство с историей появления комплексных чисел, с действиями с комплексными числами, с областями применения комплексных чисел.

Понятие о комплексных числах

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа.

Например, для того чтобы любое уравнение х+а=в имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль.

Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел Древнегреческие математики считали, что а = с и в = а только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за 2 века до нашей эры. Отрицательные числа применял в 3 веке нашей эры древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в 7 веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в 8 веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х2 = -9. В 16 веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения х3+3х-4=0), а если оно имело 3 действительных корня (например, х3-7х+6=0),то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 предложил ввести числа новой природы.

Он показал, что система уравнений х+у = 10, ху = 40 не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда х = 5 , у = 5 , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что  = -а. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в котором были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777г. один из крупнейших математиков VIII века Х. Эйлер предложил использовать первую букву французского числа i = (мнимой единицы), этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831г).

В течениe 17 века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17-18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце 18 века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течении 18 века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце 18- начале 19 веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г.Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z=a+bi точкой М(а,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теория поля.

Действия с комплексными числами

Рассмотрим решение квадратного уравнения х2 +1 = 0. Отсюда х2 = -1. Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается i. Таким образом , i2 = -1, откуда i =. Решение квадратного уравнения, например, х2 – 8х + 25 = 0, можно записать следующим образом: х = 4 = 4 = 4 = 4 3 = 4 3i.

Числа вида 4+3i и 4-3i называют комплексными числами. В общем виде комплексное число записывается а + bi, где a и b- действительные числа, а i – мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа, bi-мнимой частью этого числа, b- коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di называется комплексное число z = (a+c) + (b+d)i. Числа a + bi и a-bi называются сопряженными. Их сумма равна действительному числу 2а, (а+bi) + (а-bi) = 2а. Числа а+bi и -a-bi называются противоположными. Их сумма равна нулю. Комлексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: а+bi = c+di, если a = c, b = d. Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т.е. z = a + bi = 0, если a = 0,b = 0. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Если b = 0, то a + bi = a - действительное число. Если а = 0, b 0, то a + bi = bi – чисто мнимое число. Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению: разностью двух комплексных чисел a + bi и с + di называется комплексное число х + уi, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел получим два уравнения, из которых найдем, что х = а-с, у = b-d. Значит, (а+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.

Произведение комплексных чисел z 1= a + bi и z2 = c + di называется комплексное число z = (ac-bd) + (ad + bc)i, z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. Легко проверить, что умножение комплексных чиcел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i2 на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Из определения умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному числу: (a + bi)(a - bi) = a2 + b2

Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: (a + bi):(c + di) = = = + i.

Степень числа i является периодической функцией показателя

с периодом 4. Действительно, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1, i4n = (i4)n = 1n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = -1,

i4n+3 = -i.

Применение комплексных чисел

Комплексные числа имеют прикладное значение во многих областях науки, являются основным аппаратом для расчетов в электротехнике и связи. Если на плоскости по горизонтальной оси откладывать реальные числа, а по вертикальной – мнимые, то каждому комплексному числу будет соответствовать точка на этой плоскости. Например, известно, что корни третьей степени из единицы (один реальный и два комплексных) расположены в вершинах равностороннего треугольника, а корни кубические из –1 тоже лежат на вершинах равностороннего треугольника, но отраженного относительно первоначального вокруг вертикальной оси. А корни седьмой степени из любого числа лежат на вершинах правильного семиугольника.

Каждому комплексному числу соответствует точка на плоскости. Возведем число в квадрат – появляется другая точка, еще раз возведем в квадрат (или любую другую степень), появляется новая точка на плоскости. Потом эту простейшую операцию повторим многократно с получающимся каждый раз новым комплексным числом. В зависимости от начального числа могут быть три варианта: процесс пошел вразнос, число резко растет, уходит «из поля зрения», это не интересно; число быстро уменьшается и исчезает, еще менее интересно; да, да, теперь самое потрясающее. При некоторых начальных значениях новые числа группируются внутри некоторой области, а при отображении их на плоскости появляются невероятные изображения.

Что такое фрактал?

Группирование возводимых в квадрат комплексных чисел впервые подметил и описал Жюлиа в 1916 году. И это, так называемое множество Жюлиа, послужило отправной точкой для Бенуа Р. Мандельброта, математика из Исследовательского центра им. Томаса Уотстона при IBM, впервые предложившего термин «фрактал» (от латинского слова «fractus» — дробь) для описания объектов, структура которых повторяется при переходе к все более мелким масштабам.. Суть технологии его получения состоит в следующем. Берется комплексное число. Выбранное число возводится в квадрат и прибавляется какое-то фиксированное постоянное число.

Это число тоже комплексное, то есть имеет действительную и мнимую части, подбирая их мы можем регулировать процесс, получая самые причудливые картины.

Фракталы встречаются везде, где заканчиваются правильные формы евклидовой геометрии. Все, что создано человеком, ограничено плоскостями. Если встречается природный объект, то с первого взгляда видно, что осознать, описать его форму со всеми шероховатостями можно только приблизительно. Здесь на помощь приходят фракталы. Среди множества различных изображений, создаваемых компьютером, немногие могут соперничать с фракталами, благодаря их подлинной красоте и воздействию на воображение наблюдателя. Примеры фрактальных объектов в изобилии встречаются в природе: бесконечно изгибающаяся береговая линия, поверхность горной гряды, изрезанная трещинами и усеянная бесчисленными зубцами и т.д. Фрактальные характеристики имеет сама Вселенная.


С математической точки зрения, фрактал – это прежде всего множество с дробной размерностью, нечто промежуточное между точками и линиями, линиями и поверхностями, поверхностями и телами.
Выяснилось, что дробную размерность имеют многие ранее изучавшиеся в математике объекты – канторово множество, кривая Вейерштрасса, кривая Кох и т.д. Дробная размерность множества выражается не целым числом, а дробью: одна целая и четыре десятых, две целых и шесть десятых и т.п. Как такое возможно? Математика исходит из постулата о бесконечной делимости всего. Математическая точка не имеет размеров, тем не менее, бесконечно много бесконечно малых точек в пределе образуют вполне конечные тела. Так выяснилось, что созданное по определенному рецепту тело – это что-то среднее между не имеющей толщины и площади линией и имеющим площадь куском плоскости, или же между не имеющей толщины и объема плоской фигурой и имеющим объем пространственным телом. В этих объектах стерта грань между измерениями. Это одно из поразительных свойств фракталов.
Еще одним, пожалуй самым основным свойством фракталов является их самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Разглядывая фрактальные объекты мысленно или на практике в увеличительное стекло, приближая их, мы видим все то же строение.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛОВ
Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:

КОМПЬЮТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ


Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами. Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ


Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны, поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.
Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ


Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес. Примечательно в этих антеннах то, что они очень компактны: встроенная в корпус мобильного телефона фрактальная антенна имеет размеры 24x36 мм. Кроме того, они работают в широком диапазоне частот. Все это, кстати, обнаружено экспериментально, т.к. теории фрактальных антенн до сих пор не существует. Как считает Натан Коэн, главный технический инспектор Fractal Antenna Systems, что через несколько лет фрактальные антенны прочно войдут в нашу жизнь и станут составной частью сотовых телефонов и других устройств связи.


ФИЗИКА ПОВЕРХНОСТЕЙ
Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.
МЕДИЦИНА

Биосенсорные взаимодействия, биения сердца.

Компьютерная диагностика организма.

Цифровой анализатор биоритмов Омега-М (Омега-Медицина) предназначен для комплексного исследования функционального состояния организма человека. Основу метода составляет новая информационная технология анализа вариабельности сердечных ритмов – "фрактальная нейродинамика".


При создании медицинского оборудования системы диагностики организма использованы последние достижения биофизики, физиологии и клинической медицины, на основе которых разработаны новые высокоинформативные показатели для оценки функционального состояния организма.
Диагностика Омега-М дает возможность практикующему врачу любого профиля проводить функциональную диагностику заболеваний, контролировать показатели функционального состояния пациента, прогнозировать их изменения, оценивать резервы организма и определять эффективность лечения.
БИОЛОГИЯ
Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.
ЛИТЕРАТУРА


  • Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста

  • неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)

  • неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»)

Фракталы - уникальные объекты, порожденные непредсказуемыми движениями хаотического мира. Их находят в местах таких малых, как клеточная мембрана и таких огромных, как Солнечная система.

Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг — это все фракталы. От представителей древних цивилизаций до Майкла Джексона, ученые, математики и артисты, как и все остальные обитатели этой планеты, были зачарованы фракталами и применяли из в своей работе.

Программисты и специалисты в области компьютерной техники так же без ума от фракталов, так как фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах.



Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же революцией в человеческом восприятии мира.


Заключение.


  • Комплексные числа, несмотря на их “лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии.

  • Именно поэтому я захотела узнать о комплексных числах, их свойствах и особенностях. Комплексные числа не входят в базовую школьную программу алгебры но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарной математики.

  • В процессе работы над проектом я узнала о фракталах и их применениях в деятельности человека. Мне было очень интересно познакомиться с понятием фрактала.



скачать файл



Смотрите также:
Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл
128.2kb.
Постановка задач математической физики
34.53kb.
Решение трех задач. В процессе написания работы необходимо делать ссылки на использованную литературу
111.45kb.
«Уравнения. Решение задач с помощью уравнений.»
280.35kb.
Урок по математике в 1 классе на тему: «Решение задач. Сложение и вычитание чисел 2 и 3»
28.29kb.
Арифметические преобразования. Пропорция. Степени и корни. Арифметический корень. Модуль числа. Действия со степенями с целым и дробным показателем. Формулы сокращенного умножения. Решение задач. Консультация
47.83kb.
17 октября 2012 г в московском «Экспоцентре» в рамках одной из крупнейших конференций Рунета – Russian Internet Week – прошел круглый стол «Мобильная Москва. Как интернет меняет город»
35.24kb.
Решение неполного квадратного уравнения 1 типа ( ах 2 +с=0 ): 1) с дискриминантом в уравнении ax 2
18.66kb.
Урока: «Решение вычислительных задач с использованием подпрограмм с параметрами»
43.4kb.
Дисциплины «Физика (спец главы)»
34.45kb.
Описываются числа Фибоначчи, их свойства и методы вычисления. Рассматривается набор олимпиадных задач, которые решаются при помощи чисел Фибоначчи
199.81kb.
1. Вывод трехмерного уравнения теплопроводности. Постановка граничных задач
25.83kb.