takya.ru страница 1страница 2 ... страница 6страница 7
скачать файл
Теоретическая и практическая часть элективного курса

« Уравнения в целых числах»

I. Основы теории делимости чисел (15 часов).

1.1 Делимость натуральных чисел

Определение 1. Пусть даны два натуральных числа – a и b. Если существует натуральное число q такое, что выполняется равенство a=bq, то говорят, что число a делится на число b. При этом число а называют делимым, b - делителем, q - частным. Число a называют кратным числа b.

Вместо фразы «a делится на b» часто используют запись a b. Запись 8 2 означает, что число 8 делится на 2 без остатка.

Отношение « делится на » распространяется и на множество целых чисел. Например, справедливы утверждения: (12) 3, 48 (6), 0 n, где n любое натуральное число. Мы будем говорить о делимости во множестве натуральных чисел.

Опираясь на сформулированное определение, можно получить ряд свойств отношения делимости на множестве натуральных чисел.

Свойство 1. Если

Например, из того, что 48,можно сделать вывод, что 38

Свойство 2. Если

Например, из того, что 12, можно сделать вывод, что (12+21).

Свойство 3. Если a b и c не делится на b, то (a + c) не делится на b.

Например, из того, что 12 3 и 22 не делится на 3, можно сделать вывод, что (12+22). В то же самое время из того, что каждое слагаемое делится на b,то каждое слагаемое не делится на b. Например, 14 не делится на 3 , 22 не делится на 3 , но (14+22) 3.

Свойства 2 и 3 распространяются на сумму любого конечного числа слагаемых следующим образом: если каждое слагаемое делится на число b, то и сумма делится на b;если каждое слагаемое, кроме одного, делится на b, то сумма не делится на b.

Свойство 4. Если a b и (a + c) b, то c .

Например, из того, что 12 3 и (12+21) 3 можно сделать вывод, что 21 3.

Свойство 5. Если a и c ,то ac .

Например, из того, что 12 и 28 можно сделать вывод, что

(1228)(37).

Свойство 6. Если a b и с - любое натуральное число, то ac bc;

если ac bc, то a b.

Например, из того, что 12 , можно сделать вывод, что (12 5) (3 5) и обратно.

Свойство 7. Если a и c – любое натуральное число, ac b.

Например, из того, что 12 3, можно сделать вывод, что (12 5) 3.

Следует заметить, что свойство, обратное свойству 7, не имеет места: из того, что ac b, нельзя сделать вывод, что или a, или c делится на b. Например, 45 15 и 45 = 9 5, но ни 9, ни 5 не делятся на 15.

Свойство 8. Если a b и c b,что для любых натуральных чисел n и k справедливо соотношение (an + ck) b.

Например, из того, что 12 3 и 21 3, можно сделать вывод, что

(25 12 + 271 21)

Свойство 9. Среди n последовательных натуральных чисел одно и только одно делится на n.

В самом деле, если мы возьмём любые три подряд идущих натуральных числа, например, 8, 9, 10 или 106, 107, 108, то одно число из тройки делится на 3 (для первой тройки это число, для второй – число 108). Если мы возьмём любые 10 подряд идущих натуральных чисел, то одно обязательно делится на 10. Если же мы возьмём два подряд идущих чётные числа, то одно обязательно делится на 4.

Пример 1. Доказать, что для любого натурального числа n число

Решение.


Разложим многочлен на множители:

Рассмотрим полученное произведение. При n=1, n=2 оно обращается в 0, значит, делится на 2, 3, 4, 5, 8. При n>2 имеем произведение пяти последовательных натуральных чисел . Из этих пяти чисел, по свойству 9,одно обязательно делится на 5, хотя бы одно – на 3, хотя бы одно – на 4, и кроме того есть ещё хотя бы одно чётное число, т.е. число, делящееся на 2. Тогда, по свойствам 5 и 7, произведение этих пяти чисел делится на 2 ,3, 4, 5 и на произведение 2 и 4 , т.е. делится на 8.

Пример 2. Доказать, что при любом целом a разность а делится на 2.

Решение. Разложим эту разность на множители: а= а (а1).

Из двух последовательных целых чисел, а1 и а одно (и только одно) является чётным.

Пример 3. Доказать, что при любом целом а разность а делится на 3.

Решение. Разложим разность, а на линейные множители:

a = 1) а = (а1) а (а+1).

Из трёх последовательностей целых чисел, а1 , а, а +1 одно (и только одно) делится на 3. Но тогда и всё произведение делится на 3 по свойству 4 делимости.

Пример 4. Доказать, что квадрат целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1 (и, следовательно, не может давать остаток 2).

Решение. Представим делимость () 3 в виде а( 1) 3.

Так как 3 число простое, то или а, или делится на 3.

Если а делится на 3, то и делится на 3, а значит , при делении на 3 даёт в остатке нуль.

Если 1 делится на 3 , то 1= 3k (kZ), =3k1, т.е. при делении на 3 даёт в остатке 1.

Пример 5. Докажем, что при любом целом n сумма 3+8n делится на 6.

Решение. 1)3+8n=n(3n+8)=n(n2n+8)=n(n(n1)2(n4))− каждое из слагаемых делится на 2, значит и всё выражение делится на 2.

2)3+8nn3+9n=n3n(n−3)=n(n−1)(n+1)−3n(n−3)− каждое из слагаемых делится на 3, значит и всё выражение делится на 3.

Следовательно, сумма 3+8n делится на 6.

Пример 6. Доказать, что если сумма a+b+c, где a,b,c – целые, делится на 3, то и сумма делится на 3.

Решение. Преобразуем последнюю сумму следующим образом:

=()+( )+(a + b + c).

Каждое из четырёх слагаемых последней суммы делится на 3, следовательно, и вся сумма делится на 3.

Пример 7. Доказать, что если целые числа a и b не делятся на 3 , то делится на 3.

Решение. Пусть a=3 +1,b=3 +2, тогда ==

=

Данные задания предлагаются для самостоятельного решения.

Пример 8. Ни одно из целых чисел a, b и с не делятся на 3. Верно ли, что сумма делится на 3.

Пример 9. Доказать, что в прямоугольном треугольнике с целочисленными сторонами длина по меньшей мере одного из катетов делится на 3.

Пример 10. Доказать, что сумма , где a и b –целые числа, делится на 3, то каждое из чисел a и b делится на 3.

Решение. Из делимости следует, что числа a и b или оба делителя, или оба не делятся на 3. Рассмотрим вторую возможность. Тогда каждое из чисел при делении на 3 даёт в остатке 1:



где - целые неотрицательные числа. Сложим эти неравенства почленно:

Получилось, что сумма не делится на 3. Но это противоречит условию. Остаётся первая возможность: числа a и b делятся на 3.

Пример11. Докажем, что при любом целом а разность делится на 5.

Решение. Разложим данную разность на множители:



Теперь можно рассмотреть пять случаев:



(k Z), множитель представим в таком виде: Получаем:
Первое слагаемое этой суммы делится на 5 как произведение пяти последовательных чисел, второе также делится на 5. Следовательно, и вся сумма, т.е. делится на 5.

Данные задания предлагаются для самостоятельного решения.

1) Докажите, что 723+343 делится на 106.

2) Докажите, что(13+23+33+…+1813+1823) делится на 183.

3) Докажите, что 183+263 делится на 176.

4) Докажите, что(23+33+…+1963+1973) делится на 199.


1.2. Признаки делимости

На этом занятии мы поговорим о признаках делимости на 2, 3, 4, 5 и т.д.



Признак делимости на 2. Для того чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2.

Признак делимости на 5. Для того чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра делилась на 5 ( т.е. цифра единиц либо 0, либо 5)

Признак делимости на 10. Для того чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.

Признак делимости на 4. Для того , чтобы натуральное число р, содержащее не менее трех цифр, делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами числа р.

Докажем, это свойство. Любое число р, содержащее не менее трех цифр, можно представить в виде р=100а+с, где с- число, образованное последними двумя цифрами числа р.

Так как 100а4, то по свойствам делимости (100а+с) 4, если с 4.

Аналогичные рассуждения позволяют получить признаки делимости на 25, 8 и 125.



Признак делимости на 25. Для того чтобы натуральное число р, содержащее не менее трех цифр, делилось на 25, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами числа р.

Признак делимости на 8. Для того чтобы натуральное число р, содержащее не менее четырех цифр, делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами числа р.

Признак делимости на 125. Для того чтобы натуральное число р, содержащее не менее четырех цифр, делилось на 125, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами числа р.

Признак делимости на 3. Для того чтобы натуральное число р делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

Рассмотрим доказательство этого свойства. Количество цифр в числе р значения не имеет, поэтому предположим, что число р состоит из пяти цифр:



р ==10 000a + 1 000b +100c +10d +e = (9999 +1)a +(999+1)b +(99 +1)c +(9+1)d+ e = (9999a + 999b +99с +9d) + (a + b + c + d + e).

(9999a + 999b +99с +9d) 3, для делимости на 3 числа р необходимо и достаточно, чтобы делилась на 3 сумма пяти слагаемых во вторых скобках- это и есть сумма цифр числа р.



Признак делимости на 9. Для того чтобы натуральное число р делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Рассмотрим примеры, которые можно предложить учащимся.

Пример 1. Доказать, что если сумма цифр числа m равна сумме цифр числа 2m, то число m

Решение. Если m=a0+10a1+102a2+…., 2m=b0+10b1+102b2+… − конечные числа в десятичной записи числа, то m=2mm=b0+b1+b2+…+ 9b1+99b2+…−(a0+a1+a2+… +9 a1+99a2+…)= (b0+b1+b2+…−( a0+a1+a2+…)) + (9(b1−a1) +99(b2−a2) + …) = 9(b1−a1) +99(b2−a2) + …



b0+b1+b2+…−( a0+a1+a2+…)= 0, т.к. суммы цифр равны.

Например, 18 и 36; 27 и 54; 81 и 162. Наименьшее из чисел, делящихся на 9, у которых сумма цифр не равна сумме цифр удвоенного числа – 144.

Пример 2. Найти цифру X, при которой число делится нацело на 3.

Решение. Воспользуемся признаком делимости на 3: 5+Х+7+9+3+Х+4=2Х+28= 2(Х+14) Непосредственной подстановкой вместо Х цифр 0, 1, …,9 получаем Х=1, 4, 7.

Ответ: 1, 4, 7.

Пользуясь признаками делимости на 2, 3, 5, 9, 10, можно строить признаки делимости на произведения этих чисел: 6, 18, 22, 36, 55…

Пример 3. Найти все числа вида n= такие, что n делится без остатка на 36.

Решение. Разложим 36 на произведение взаимно простых множителей 36=9·4. Очевидно, что должны выполняться оба признака делимости на 4 и на 9. Воспользуемся признаком делимости на 4, =50+y − должно делиться на 4. y =2 или y =6.

Пусть y=2, тогда число должно делиться на 9, т.е 3+4+x+5+2=

=14+ x отсюда x=4 и число равно 34452.

Пусть y=6, тогда число должно делиться на 9, т.е 3+4+x +5+6=



=18+x отсюда x =0 или x =9 и число равно 34056 или 34956.

Ответ: 34452, 34056, 34956.

Пример 4. Число 14а+11b не делится на 5; докажите, что тогда и 9а+b не делится на 5.

Решение. 14а+11b=5а+9а+10b+b=(5а+10b)+(9а+b), т.к первое слагаемое делится на 5, тогда второе слагаемое не делится на 5.

Данное задание предлагается для самостоятельного решения.

Пример 5. Число 17а+29b не делится на 13; докажите, что тогда и 4а+3b не делится на 13.

Пример 6. К числу припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное четырёхзначное число делилось на 36. Найдите все решения.

Решение. Обозначим неизвестные цифры через х и у. применим к числу признак делимости на 4. Тогда y=2 или y=6.

1) Если y=2, то получим число . На основании признака делимости на 9 получим (х+4+1+2) (х+7) Отсюда х=2.

2) Если y=6, то получим число . На основании признака делимости на 9 получим (х+4+1+6) (х+11) Отсюда х=7.

Ответ: 2412, 7416.

Пример 7. Найдите цифру а, если число делится на 8. Укажите все решения.

Решение. Число делится на 8 , если три последние цифры в записи числа делятся на 8. Этому условию удовлетворяют все нечетные цифры: 1,3, 5, 7, 9.

Ответ: 49168, 49368, 49568, 49768, 49968.

Для самостоятельного решения можно предложить следующий пример.

Пример 8. Докажите, что число 4444…4 (n четвёрок) не делится на 8 ни при каком натуральном n.

Пример 9. Найдите все цифры а и b, такие чтобы число делилось на 72. Укажите все решения. (72=9∙8).

Пример 10. Найдите все значения цифр а и b, такие чтобы число делилось на 99. Укажите все решения.

Решение. По условию это число делится на 9 и на 11. Применим признак делимости на 9: (5+3+а+b+2+1+3)(14+а+b)(9+(5+а+b)) (5+а+b) Отсюда, а+b=4 или а+b=13.

Теперь используем признак делимости на 11: (5−3+а−b+2−1+3) (6+а−b) Тогда, а−b =5 или а−b =−6. Рассмотрим четыре возможных случая.

1) 2) 3) 4)

Учитывая, что 1) и 4) системы имеют одинаковую чётность, достаточно рассмотреть только эти два случая.

1) а=−1 – это невозможно.

4) а=9, b=4.

Ответ: 5394213.

скачать файл


следующая страница >>
Смотрите также:
Теоретическая и практическая часть элективного курса «Уравнения в целых числах» I. Основы теории делимости чисел (15 часов)
647.24kb.
Программа предназначена для автоматизации вычислений с полиномами от одной и двух переменных над кольцами целых и целых гауссовых чисел. Может применяться в качестве учебной модели, демонстрирующей реализацию алгоритмов
27kb.
Программа элективного курса «основы избирательного права»
240.65kb.
Правила сложения, вычитания, умножения, деления целых чисел, обыкновенных и десятичных дробей, чисел с разными знаками, порядка действий. С. р Выражения, тождества, уравнения
233.8kb.
Программа курса «Основы теории управления»
152.49kb.
Вопросы к зачёту по курсу «Теоретические основы информатики» Группа У2-06 Весна 2012 г. Арифметические основы ЭВМ
29.27kb.
Программа элективного курса
60.68kb.
Основы теории колебаний основная литература
40.55kb.
Б Переменная. Равенства и неравенства. Уравнения. – 12 часов
66.03kb.
Программа элективного курса учащихся 8, 9 классов Учитель: Щербинская Т. Б. Канаш 2006 г. Рациональные уравнения
182.39kb.
Программа элективного курса «Процентомания»
105.33kb.
1. Укажите наибольшее из чисел 1
16.74kb.