takya.ru страница 1
скачать файл
Теория чисел, или высшая арифметика — раздел чистой математики, изучающий свойства натуральных и целых чисел.

Понятие числа является одним из основных понятий современной математики. Оно является одним из древнейших. Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

С развитием счета, решением конкретных практических задач и появлением понятия натурального числа получает основу и арифметика. Ранний период развития арифметики характеризуется тем, что постепенно и притом весьма медленно развивается сам процесс счета, выявляются возможности неограниченного его продолжения, создается практическая арифметика, в которой решаются отдельные конкретные арифметические задачи.

Уже в древности были установлены важные свойства целых чисел. В Древнем Египте математические операции проводились над целыми числами и аликвотными дробями (дроби вида ). Математические папирусы содержат задачи с решениями и вспомогательные таблицы. Ещё более широкое применение таблиц характерно для Вавилона. Вавилонские клинописные математические тексты включают таблицы умножения и обратных чисел, квадратов и кубов чисел натурального ряда. В Вавилоне знали множество пифагоровых троек, для поиска которых, вероятно, пользовались неизвестным общим приёмом. Самой древней археологической находкой в истории арифметики является обломок глиняной таблички Плимптон, 322, датируемый 1800 годами до нашей эры. Он содержит список Пифагоровых троек, то есть натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению . В тройках встречаются пятизначные числа, да и их самих слишком много, чтобы предположить что они были получены механическим перебором вариантов.

В Греции, в школе Пифагора (VI в. до н.э.), рассматривали только целые положительные числа и полагали число собранием единиц. Единицы были неделимы и располагались в виде правильных геометрических тел. Пифагорейцам характерно определение «фигурных чисел» («треугольных», «квадратных» и других). Изучая свойства и вопросы делимости чисел, они разбили их на чётные и нечётные (как признак делимости на два), простые и составные, а также совершенные (т.е. числа, сумма собственных делителей которого равна этому же числу). Вероятно именно пифагорейцы с помощью только признака делимости на два смогли доказать, что если — простое число, то — совершенное число. Доказательство изложено в Началах Евклида (IX, 36), только в 18 веке Эйлер доказал, что других чётных совершенных чисел не существует, а вопрос о бесконечности числа совершенных чисел до сих пор не решён. Также пифагорейцы вывели формулу и нашли бесконечное множество целых решений уравнения (пифагоровых троек). Было известно, что взаимно простые числа , удовлетворяющие уравнению , получаются по формулам: , где - целые числа, -четное

Евклид (III в. до н.э.) в своих «Началах» дает алгоритм (так называемый алгоритм Евклида) для определения наибольшего общего делителя (Н.О.Д.) двух чисел, являющийся основой теории делимости целых чисел, а также доказывает теорему о том, что простые числа образуют бесконечное множество.

Дальнейший шаг в теории простых чисел сделал Эратосфен (III в. до н.э.), давший способ выделения простых чисел из ряда натуральных чисел (решето Эратосфена).

Большое значение имели работы греческого математика Диофанта Александрийского. Теорию чисел как особую область математики можно рассматривать только начиная с работ Диофанта. Из его работ сохранились только часть «Арифметики» и книги о многоугольных числах. Диофант Александрийский, в отличие от предыдущих математиков Древней Греции, решал задачи классической алгебры описывая их геометрически. Значительную часть своей работы он посвятил решению неопределенных уравнений в рациональных числах. (В дальнейшем название диофантовых уравнений получили уравнения, решаемые в целых числах). Диофант с большим мастерством решает различные неопределенные уравнения до 3-й и 4-й степени, однако общих методов у него нет.

Работы Диофанта по решению неопределённых уравнений в рациональных числах стоят на стыке теории чисел и алгебраической геометрии. Он исследует уравнение второго порядка от двух переменных , которое является уравнением конического сечения. Метод, с помощью которого Диофант находит рациональные точки кривой, если известна хоть одна такая, устанавливает, что кривая второго порядка либо содержит бесконечное множество точек, координаты которых выражаются как рациональные функции одного параметра, либо не содержит их вовсе. Для исследования уравнений третьего и четвёртого порядка применяются более сложные геометрические методы (построение касательной в рациональной точке, или прямой через две рациональные точки для поиска следующего пересечения).

Именно эти задачи явились позднее отправным пунктом всей теории форм и той базой, откуда возникла проблематика теории диофантовых приближений.

Работа Диофанта была переиздана французским математиком Баше де-Мезириаком в 1621 г. Она стала отправной точкой для теоретико числовых исследований французского математика П.Ферма (1601-1665), Эйлера, Гаусса и других математиков.

В Китае со второго века также занимались неопределенными уравнениями. Известна задача о нахождении наименьшего целого числа, которое при делении на заданные числа дает заданные остатки. Китайская теорема об остатках входила в качестве упражнения в трактат Сунь Цзы «Сунь Цзы Суань Цзин». В его решении был опущен один из важных шагов, полное доказательство впервые получено Ариабхатой в VI веке н. э.

Индийские математики Ариабхата (V в.) , Брахмагупта (VII в.) и Бхаскары (XII в.) решали диофантовы уравнения 1-й и 2-й степени с двумя неизвестными: в целых числах. Они также с успехом занимались уравнениями вида . Решение уравнения (2) было наивысшим достижением индийских математиков в области теории чисел. Впоследствии это уравнение и его частный случай при привлекли внимание Ферма, Эйлера, Лагранжа. Предложенный Лагранжем метод нахождения решения был близок к индийскому.



В период упадка античной культуры работы Диофанта были почти совсем забыты. В VIII—IX веках в арабских странах возникает своеобразная математическая культура. Арабская математика, культивируя исследования по алгебре и тригонометрии, проявляла незначительный интерес к теоретико-числовым задачам. Некоторые арабские ученые комментировали Диофанта, рассматривали арифметические задачи того же типа, что и Диофант, однако ничего существенно нового ими не было получено.
скачать файл



Смотрите также:
Теория чисел, или высшая арифметика раздел чистой математики, изучающий свойства натуральных и целых чисел
43.91kb.
Программа предназначена для автоматизации вычислений с полиномами от одной и двух переменных над кольцами целых и целых гауссовых чисел. Может применяться в качестве учебной модели, демонстрирующей реализацию алгоритмов
27kb.
Теми, види письмових
168.87kb.
Создать в памяти ЭВМ двумерный массив из n-целых чисел (n константа) с помощью генератора случайных чисел, по формуле или задавая значения элементов массива с клавиатуры
53.58kb.
Задачи олимпиады по математике Районный тур 2006-2007 уч г. 8 класс
29.18kb.
Правила сложения, вычитания, умножения, деления целых чисел, обыкновенных и десятичных дробей, чисел с разными знаками, порядка действий. С. р Выражения, тождества, уравнения
233.8kb.
3. Счётные множества, их свойства
36.19kb.
[1 очко] Сколькими способами можно представить число 997 в виде суммы двух взаимно простых целых положительных чисел
13.27kb.
1. Укажите наибольшее из чисел 1
16.74kb.
Вопросы к зачёту по курсу «Теоретические основы информатики» Группа У2-06 Весна 2012 г. Арифметические основы ЭВМ
29.27kb.
Теоретическая и практическая часть элективного курса «Уравнения в целых числах» I. Основы теории делимости чисел (15 часов)
647.24kb.
Решение основано на том, что сумма нечетного числа нечетных чисел нечетна, а сумма любого числа четных чисел четна. Поэтому, если сумма всех (2009-и) выписанных чисел четна, то среди них имеется четное число
59.17kb.