takya.ru страница 1
скачать файл


Учреждение образования

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

УО «ГГУ им. Ф. Скорины»
________________ И.В. Семченко

(подпись)

____________________

(дата утверждения)

Регистрационный № УД-____________/р.

Теория вероятностей и

математическая статистика
Учебная программа для специальности

1-31 03 01-02 «Математика (научно-педагогическая деятельность)»

Факультет математический


(название факультета)

Кафедра экономической кибернетики и теории вероятностей


(название кафедры)

Курс (курсы) 2 -3


Семестр (семестры) 4-5

Лекции 52 час. Экзамен 5


(количество часов) (семестр)

Практические (семинарские)

занятия 34 час. Зачет 4

(количество часов) (семестр)

Лабораторные

занятия 34 час.

(количество часов)

Самостоятельная управляемая Форма получения

работа студентов 16 час. высшего образования

(количество часов) дневная


Всего аудиторных


часов по дисциплине 136 час.

(количество часов)


Всего часов


по дисциплине 240 час.

(количество часов)


Составил: Малинковский Ю.В. д.ф.-м.н., профессор
2010

Учебная программа составлена на основе типовой программы «Теория вероятностей и математическая статистика» утвержденной Министерством образования Республики Беларусь 30 декабря 2008 г.,

регистрационный номер ТД- G. 167 / тип.

Рассмотрена и рекомендована к утверждению в качестве рабочего варианта


на заседании кафедры экономической кибернетики и теории вероятностей
___ __________ 20 _ г., протокол № __
Заведующий кафедрой

профессор ________Ю.В.Малинковский


Одобрена и рекомендована к утверждению
Методическим советом математического факультета
___ __________ 20 _ г., протокол № __

Председатель


доцент ____________ В.М.Селькин

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Целью изучения дисциплины «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» является ознакомление студентов с основными принципами теории вероятностей и примерами их приложений, дальнейшее формирование у студентов навыков абстрактного математического мышления и умения применять его в конкретных задачах.



Теория вероятностей – наука, которая изучает математические модели массовых случайных явлений. Призванная изучать количественные характеристики случайных явлений, теория вероятностей, как и всякая точная наука, стала таковой лишь тогда, когда было четко сформулировано понятие вероятностной модели, и была создана ее аксиоматика.

В данной дисциплине на основе аксиоматического подхода А. Н. Колмогорова рассматриваются случайные величины, их числовые характеристики, законы больших чисел, используется теория характеристических функций, на их основе изучаются предельные вероятностные закономерности.

Математическая статистика рассматривается как прикладная математическая дисциплина, в которой наиболее плодотворными являются вероятностные методы. Она решает задачи, в каком-то смысле обратные задачам теории вероятностей, а именно, математическая статистика занимается построением математических моделей исследуемых случайных явлений.

Предполагается, что к моменту изучения дисциплины ”Теория вероятностей и математическая статистика” изучены следующие дисциплины: Алгебра и теория чисел, Дискретная математика, Аналитическая геометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения.

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать:


  • основные понятия теории вероятностей;

  • основные математические модели случайных явлений;

  • аналитические методы теории вероятностей;

  • предельные теоремы теории вероятностей;

уметь:

  • использовать основные закономерности случайных явлений;

  • применять методы теории вероятностей в других науках.

Общее количество часов 240; аудиторное количество часов 136 , из них: лекции — 52, лабораторные занятия — 34 , практические занятия — 34 , семинары — 0, самостоятельная управляемая работа студентов (СУРС) — 16. Форма отчётности — зачет (7 часов) и экзамен (11 часов).




Содержание учебного материала



Раздел 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Тема 1. Случайные события

Терминология теории вероятностей. Предмет и задачи теории вероятностей. Пространство элементарных исходов. События, операции над событиями.

Тема 2. Дискретные пространства элементарных исходов

Устойчивость и фундаментальные свойства относительной частоты. Элементы

комбинаторики. Классическое, конечное, дискретное вероятностные пространства. Геометрическое вероятностное пространство.

Тема 3. Аксиоматика теории вероятностей

Аксиоматика Колмогорова. Свойства вероятности. Непрерывность вероятности. Вероятность как мера.
Раздел 2. Независимость СОБЫТИЙ
Тема 1. Условная вероятность

Условные вероятности. Определение условной вероятности. Теоремы умножения. Формула полной вероятности и формулы Байеса.

Тема 2. Независимость

Независимость событий. Определение независимости двух событий и независимости в совокупности нескольких событий. Независимость классов событий.

Тема 3. Независимые испытания

Независимые испытания. Схема Бернулли, формула Бернулли. Полиномиальная схема. Полиномиальная формула.

Тема 4. Предельные теоремы в схеме Бернулли

Предельные теоремы. Локальные и интегральные предельные теоремы Муавра — Лапласа и Пуассона и их приложения.
Раздел 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Тема 1. Случайные величины и их распределения

Случайная величина. Функция распределения и ее свойства. Существование случайной величины с заданной функцией распределения. Распределение вероятностей как мера на сигма-алгебре борелевских множеств.

Тема 2. Классификация случайных величин

Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Абсолютно непрерывные случайные величины. Плотность распределения и ее свойства. Сингулярные случайные величины. Теорема Лебега.

Тема 3. Распределения вероятностей

Распределения: вырожденное, Бернулли, биномиальное, геометрическое, пуассоновское, равномерное, Коши. Показательное распределение. Лемма об отсутствии памяти.

Тема 4. Нормальное и связанные с ним распределения

Нормальное распределение. Лемма о распределении функции от случайной величины. Лемма о нормальном распределении. Стандартное нормальное распределение. Функция стандартного нормального распределения и функция Лапласа. Связь между ними. Вероятность попадания в интервал. Распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера.
РАЗДЕЛ 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРА. НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Тема 1. Многомерные случайные величины. Независимость случайных величин

Случайны вектора. Свойства многомерной функции распределения. Классификация многомерных случайных величин. Дискретное, абсолютно непрерывное и сингулярное многомерные распределения. Многомерные законы распределения.

Тема 2. Независимость случайных величин

Определение независимости случайных величин. Свойства независимых случайных величин. Критерии независимости. Критерии независимости дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин.

Тема 3. Функциональные преобразования случайных величин.

Функции от случайных величин и соответствующие преобразования функции и плотности распределения. Формула свертки.
Раздел 5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Тема 1. Математическое ожидание и его свойства

Частные определения математического ожидания для дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин. Математическое ожидание случайной величины как интеграл Лебега. Свойства математического ожидания.

Тема 2. Неравенства для математического ожидания. Дисперсия

Неравенства Чебышева, Ляпунова, Иенсена. Выражение для математического ожидания борелевской функции от случайной величины через интеграл Лебега-Стилтьеса. Свойство мультипликативности математических ожиданий.

Тема 3. Дисперсия. Моменты случайных величин

Моменты случайных величин. Дисперсия и ее свойства. Неравенство Чебышева для дисперсии. Моменты высших порядков. Центральные и начальные моменты.

Тема 3. Коэффициент корреляции

Неравенство Коши-Буняковского. Коэффициент корреляции и его свойства.
Раздел 6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Тема 1. Виды сходимости случайных величин

Сходимость почти наверное, по вероятности, в среднем порядка . Слабая сходимость распределений и случайных величин. Критерии сходимости. Соотношения между видами сходимости. Лемма о слабой сходимости к неслучайной величине.
Тема 2. Производящие функции

Производящие функции целочисленных случайных величин. Свойства. Непрерывное соответствие между распределениями целочисленных случайных величин и их производящими функциями. Моменты целочисленных случайных величин.
Тема 3. Характеристические функции.

Определение и простейшие свойства характеристических функций. Примеры характеристических функций.
Тема 3. Соответствие и предельное соответствие между распределениями и характеристическими функциями

Формулы обращения для характеристических функций. Однозначность соответствия между характеристическими функциями и соответствующими распределениями вероятностей. Непрерывность соответствия между множествами функций распределения и характеристических функций. Прямая и обратная предельные теоремы.
Раздел 7. Предельные ТЕОРЕМЫ
Тема 1. Законы больших чисел

Законы больших чисел и усиленные законы больших чисел. Законы Чебышева, Бернулли, Хинчина.

Тема 2. Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин. Условие Линдеберга. Теорема Ляпунова. Понятие о предельных законах, отличных от нормального (в обзорном порядке). Применение центральной предельной теоремы к приближенному вычислению интегралов.
Раздел 8. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Тема 1. Определение случайного процесса.

Процессы с дискретным и непрерывным временем. Траектории случайного процесса.

Тема 2. Типичные процессы с независимыми приращениями.

Пуассоновский случайный процесс и случайный процесс броуновского движения.

Тема 3. Стохастический анализ.

Корреляционная теория случайных процессов. Интегрирование случайных процессов.

Тема 4. Марковские процессы.

1. Марковские и диффузионные случайные процессы.

2. Уравнения Колмогорова — Чепмена.

3. Прямое и обратное уравнения Колмогорова.
Раздел 9. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Тема 1. Элементы выборочной теории

Предмет и задачи математической статистики. Основные понятия и элементы выборочной теории: выборка, вариационный ряд, гистограмма, эмпирическая функция распределения, теорема Гливенко-Кантелли. Асимптотическая нормальность выборочных моментов.

Тема 2. Точечные оценки неизвестных параметров.

Оценивание неизвестных параметров. Несмещенность, состоятельность (сильная состоятельность) и эффективность оценок. Выборочная средняя и выборочная дисперсия как оценки теоретической средней и теоретической дисперсии.

Тема 3. Эффективность точечных оценок

Неравенство Рао-Крамера. Эффективность. Методы максимального правдоподобия и моментов. Достаточные статистики.

Тема 4. Многомерное нормальное распределение

Многомерное стандартное нормальное распределение. Многомерное нормальное распределение как распределение линейной формы. Плотность невырожденного многомерного нормального распределения. Сохранение независимости координат случайного нормального вектора при ортогональном преобразовании. Лемма Фишера.

Тема 5. Доверительное оценивание

Односторонние и двусторонние доверительные пределы. Лемма о нахождении двусторонних доверительных пределов по односторонним. Лемма о нормальном распределении. Основная теорема интервального оценивания. Интервальные оценки параметров нормального распределения.

Тема 6. Проверка статистических гипотез. Лемма Неймана — Пирсона. Равномерно наиболее мощные критерии. Примеры. Критерии значимости. Критерий согласия хи-квадрат Пирсона. Обзор других критериев согласия (Мизеса, Колмогорова).

Тема 7. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов

Понятие об условном математическом ожидании. Уравнения регрессии. Основная теорема регрессионного анализа. Линейная регрессия. Уравнения линейной регрессии. Выборочные уравнения линейной регрессии.


Учебно-методическая карта дисциплины





Номер раздела, темы, занятия

Название раздела, темы, занятия; перечень изучаемых вопросов



Количество аудиторных часов

Материальное обеспечение занятия (наглядные, методические пособия и др.)

Литература


Формы контроля

знаний


лекции

практические

(семинарские)

занятия


лабораторные

занятия


контролируемая

самостоятельная работа студента



1

2

3

4

5

6

7

8

9




4 СЕМЕСТР






















1

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

8

6
















1.1

Случайные события

1. Терминология теории вероятностей.

2. Предмет и задачи теории вероятностей.

3. Пространство элементарных исходов.

4. События, операции над событиями.


2

-










[1-25]




1.2

Дискретные пространства элементарных исходов

1. Устойчивость и фундаментальные свойства относительной частоты.

2. Элементы комбинаторики.

3. Упорядоченные и неупорядоченные выборки с возвращением и без возвращения.

4. Размещения, перестановки и сочетания.


2

2










[1-25]




1.2

Дискретные пространства элементарных исходов

1. Классическое пространство элементарных исходов.

2. Конечное пространство элементарных исходов.

3. Дискретное вероятностное пространство.

4. Геометрическое вероятностное пространcтво.


2

4










[1-25]







1.3

Аксиоматика теории вероятностей

1. Аксиоматика Колмогорова.

2. Свойства вероятности.

3. Непрерывность вероятности.

4. Вероятность как мера.


2

-










[1-25]




2

Независимость СОБЫТИЙ

6

6




2










2.1.

Условная вероятность

1. Условные вероятности.

2. Определение условной вероятности.

3. Теоремы умножения.

4. Формула полной вероятности и формулы Байеса.

2

2










[1-25]




2.2

Независимость

1. Независимость событий.

2. Определение независимости двух событий.

3. Определение независимости в совокупности нескольких событий.

4. Независимость классов событий.


2

-










[1-25]




2.3

Независимые испытания

1. Независимые испытания.

2. Схема Бернулли, формула Бернулли.

3. Полиномиальная схема.

4. Полиномиальная формула.


2

2










[1-25]




2.4

Предельные теоремы в схеме Бернулли

1. Предельные теоремы.

2. Предельная теорема Пуассона.

3. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа

4. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа.

5. Приложения предельных теорем.


-

2




2




[1-25]

Групповая консультация

3

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ


4

10




2










3.1

Случайные величины и их распределения

1. Случайная величина.

2. Функция распределения и ее свойства.

3. Существование случайной величины с заданной функцией распределения.

4. Распределение вероятностей как мера на сигма-алгебре борелевских множеств.

.


2

2










[1-25]




3.2

Классификация случайных величин

1. Дискретные случайные величины.

2. Ряд распределения.

3. Абсолютно непрерывные случайные величины.

4. Плотность распределения и ее свойства.

5. Сингулярные случайные величины. Теорема Лебега.


2

-










[1-25]




3.3

Распределения вероятностей

1. Дискретные распределения: вырожденное, Бернулли, биномиальное, геометрическое.

2 Абсолютно непрерывные распределения: пуассоновское, равномерное, Коши.

3. Показательное распределение. Лемма об отсутствии памяти.


-

8




2




[1-25]

Групповая консультация





4. Нормальное распределение. Лемма о нормальном распределении. Стандартное нормальное распределение. Функция стандартного нормального распределения и функция Лапласа. Распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера.

-












[1-25]




4.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРА. НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН


6

6










[1-25]




4.1

Многомерные случайные величины. Независимость случайных величин

1. Случайные вектора. Свойства многомерной функции распределения.

2. Классификация многомерных случайных величин.

3. Дискретное, абсолютно непрерывное и сингулярное многомерные распределения.

4. Многомерные законы распределения.

2

2










[1-25]




4.2

Независимость случайных величин

1. Определение независимости случайных величин. 2. Свойства независимых случайных величин.

3. Критерии независимости.

4. Критерии независимости дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин.

2

2










[1-25]




4.3

Функциональные преобразования случайных величин

1. Функции от случайных величин.

2. Преобразования функции распределения при переходе к функции от случайных величин.

3. Преобразования плотности распределения

4. Формула свертки.


2

2










[1-25]




5

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

4


6





2










5.1

Математическое ожидание и его свойства

1. Частные определения математического ожидания для дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин.

2. Математическое ожидание случайной величины как интеграл Лебега.

3. Свойства математического ожидания.


2

4










[1-25]







5.2


Неравенства для математического ожидания. Дисперсия

1. Неравенства Чебышева, Ляпунова, Иенсена.

2. Выражение для математического ожидания борелевской функции от случайной величины через интеграл Лебега-Стилтьеса.

3. Свойство мультипликативности математических ожиданий.




2




2




[1-25]

Групповая консультация

5.3


Дисперсия. Моменты случайных величин

1. Моменты случайных величин.

2. Дисперсия и ее свойства.

3. Неравенство Чебышева для дисперсии.

4. Моменты высших порядков. Центральные и начальные моменты.

5. Неравенство Коши-Буняковского.

6. Коэффициент корреляции и его свойства.

2

-














[1-25]







Всего за 4 семестр

28

34




6













5 СЕМЕСТР






















6

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ


6




8

2










6.1

Виды сходимости случайных величин

1. Сходимость почти наверное, по вероятности, в среднем порядка .

2. Слабая сходимость распределений и случайных величин.

3. Критерии сходимости. Соотношения между видами сходимости

4. Лемма о слабой сходимости к неслучайной величине.


2














[1-25]





6.2

Производящие функции

1. Производящие функции целочисленных случайных величин. Свойства.

2. Непрерывное соответствие между распределениями целочисленных случайных величин и их производящими функциями. Моменты целочисленных случайных величин.


2




2







[1-25]




6.3

Характеристические функции.

1. Определение и простейшие свойства характеристических функций.

2. Примеры характеристических функций.

2




4







[1-25]




6.4

Соответствие и предельное соответствие между распределениями и характеристическими функциями

1. Формулы обращения для характеристических функций.

2. Однозначность соответствия между характеристическими функциями и соответствующими распределениями вероятностей.

3. Непрерывность соответствия между множествами функций распределения и характеристических функций.

4. Прямая и обратная предельные теоремы.

-




2

2




[1-25]

Групповая консультация

7

Предельные ТЕОРЕМЫ

2




4

2









7.1


Законы больших чисел

1. Законы больших чисел и усиленные законы больших чисел.

2. Закон Чебышева.

3. Закон Бернулли.

4. Закон Хинчина.





2

2




[1-25]

Групповая консультация

7.2

Центральная предельная теорема

1. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.

2. Условие Линдеберга. Теорема Ляпунова.

3. Понятие о предельных законах, отличных от нормального (в обзорном порядке).

4. Применение центральной предельной теоремы к приближенному вычислению интегралов.

2




2







[1-25]







8

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

2




4

2













Определение случайного процесса.

1. Процессы с дискретным и непрерывным временем.

2. Траектории случайного процесса.

3. Пуассоновский случайный процесс.

4. Случайный процесс броуновского движения.

2





2






[1-25]




8.2

Стохастический анализ. Марковские процессы.

1. Корреляционная теория случайных процессов.

2. Интегрирование случайных процессов.

3. Марковские и диффузионные случайные процессы.

4. Уравнения Колмогорова — Чепмена.

5. Прямое и обратное уравнения Колмогорова.

-




2

2




[1-25]

Групповая консультация

9

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

14






18



4










9.1

Элементы выборочной теории

1. Предмет и задачи математической статистики.

2. Основные понятия и элементы выборочной теории: выборка, вариационный ряд, гистограмма, эмпирическая функция распределения, теорема Гливенко-Кантелли.

3. Асимптотическая нормальность выборочных моментов.

2




2







[1-25]




9.2

Точечные оценки неизвестных параметров.

1. Оценивание неизвестных параметров. Несмещенность, состоятельность (сильная состоятельность) и эффективность оценок.

2. Выборочная средняя и выборочная дисперсия как оценки теоретической средней и теоретической дисперсии.


2




4







[1-25]







9.3

Эффективность точечных оценок

1. Неравенство Рао-Крамера. Эффективность.

2. Методы максимального правдоподобия и моментов.

3. Достаточные статистики.

2




2







[1-25]




9.4

Многомерное нормальное распределение

1. Многомерное стандартное нормальное распределение. Многомерное нормальное распределение как распределение линейной формы.

2. Плотность невырожденного многомерного нормального распределения. Сохранение независимости координат случайного нормального вектора при ортогональном преобразовании.

3. Лемма Фишера.

2







2




[1-25]

Групповая консультация

9.5

Доверительное оценивание

1. Односторонние и двусторонние доверительные пределы. Лемма о нахождении двусторонних доверительных пределов по односторонним. Лемма о нормальном распределении.

2. Основная теорема интервального оценивания.

3. Интервальные оценки параметров нормального распределения.

2




4







[1-25]




9.6

Проверка статистических гипотез.

1. Лемма Неймана — Пирсона. Равномерно наиболее мощные критерии. Примеры.

2. Критерии значимости.

3. Критерий согласия хи-квадрат Пирсона. Обзор других критериев согласия (Мизеса, Колмогорова).

2




4

2




[1-25]

Групповая консультация

9.7

Линейная регрессия и метод наименьших квадратов

1. Понятие об условном математическом ожидании.

2. Уравнения регрессии. Основная теорема регрессионного анализа.

3. Линейная регрессия. Уравнения линейной регрессии. Выборочные уравнения линейной регрессии.




2




2







[1-25]







Всего за 5 семестр

24




34

10












Информационно-методическая часть




Перечень практических занятий


  1. Дискретные пространства элементарных исходов. Определение вероятности события.

  2. Основные правила комбинаторики.

  3. Геометрические вероятности.

  4. Условная вероятность. Независимость событий.

  5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

  6. Схема испытаний Бернулли.

  7. Предельные теоремы в схеме Бернулли.

  8. Вероятностное пространство. Понятие дискретной случайной величины.

  9. Непрерывные случайные величины.

  10. Система случайных величин. Числовые характеристики системы двух случайных величин.

  11. Независимость случайных величин. Преобразования случайных величин.

  12. Числовые характеристики дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин.

Перечень лабораторных работ


  1. Числовые характеристики дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин.

  2. Производящие функции.

  3. Характеристические функции.

  4. Предельные теоремы

  5. Случайные процессы с независимыми приращениями

  6. Марковские процессы

  7. Нахождение числовых характеристик выборки.

  8. Графическое отображение статистических данных.

  9. Эмпирическая функция распределения.

  10. Точечная оценка неизвестного параметра. Методы получения точечных точечных оценок неизвестных параметров.

  11. Построение доверительных интервалов.

  12. Статистическая проверка гипотез о законах распределения случайных величин.

  13. Выборочный коэффициент корреляции.

  14. Построение выборочного уравнения линейной регрессии.



Формы контроля знаний





  1. Контрольные работы.


Темы контрольных работ





  1. Классическое определение вероятности.

  2. Случайные величины. Числовые характеристики.

  3. Проверка статистических гипотез.

  4. Случайные процессы. Конечномерные распределения.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА



Основная

1. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

2. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. – М.: Наука, 1978.

3. Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев: Вища шк., 1979.

4. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.

5. Зуеў М. М., Сячко Ул. Ул. Тэорыя iмавернасцей i матэматычная статыстыка. Мазыр: Белы вецер, 2000.

6. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. М.: Высш. шк., 1984.

7. Лазакович Н.В., Сташулёнок С.П., Яблонский О.Л. Теория вероятностей : учебник. – 2-е изд.,перераб. и доп. – Минск : БГУ, 2007.

8. Розанов Ю. А. Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика. М.: Наука, 1985.

9. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982.



10. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1987.

11. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.


Дополнительная

12. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.

13. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974.

14. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1976.

15. Круглов В. М. Дополнительные главы теории вероятностей. М.: Высш. шк., 1984.

16. Лазакович Н.В., Сташулёнок С.П., Яблонский О.Л. Курс теории вероятностей : электронное учебное пособие. – Минск : Электронная книга БГУ, 2003.

17. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1964.

18. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. М.: Мир, 1983.

19. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984.Т.1,2.

20. Хеннекен П. А., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1974.


Сборники задач по дисциплине ”Теория вероятностей и математическая статистика”

21. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. М: МГУ, 1963.

22. Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г.Задачи по теории вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. М: Наука, 1986.

23. Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М. Сборник задач по теории вероятностей. М: Наука,1989.
Справочная литература

24. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973

25. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А.В., Турбин А. Ф.— М: Наука, 1985.

ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ

ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ
(изменить в соответствии с курсом )

Название

дисциплины,

с которой

требуется согласование



Название

кафедры


Предложения

об изменениях в содержании учебной программы

по изучаемой учебной

дисциплине



Решение, принятое кафедрой, разработавшей учебную программу (с указанием даты и номера протокола)

Физика и технология полупроводниковых приборов

Кафедра оптики




Рекомендовать к утверждению учебную программу в представленном варианте

протокол № ___ от ___.___.200__




Низкоразмерные системы

Кафедра оптики




Рекомендовать к утверждению учебную программу в представленном варианте

протокол № ___ от ___.___.200__





































ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ К УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЕ

ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

на _____/_____ учебный год




№№

пп


Дополнения и изменения

Основание








Учебная программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры

оптики

(протокол № ____ от ________ 200_ г.)



Заведующий кафедрой

оптики


к.ф.-м.н., доцент __________________ Н.А. Алешкевич

УТВЕРЖДАЮ

Декан физического факультета УО «ГГУ им. Ф. Скорины»

к.ф.-м.н., доцент __________________ С.А. Хахомов



скачать файл



Смотрите также:
Учебная программа для специальности 1-31 03 01-02 «Математика
375.51kb.
Рабочая учебная программа для студентов направления «Механика. Прикладная математика»
126.98kb.
Рабочая учебная программа для студентов специальности 250203. 65 «Садово-парковое и ландшафтное строительство», очной и заочной формы обучения
267.53kb.
Рабочая программа дисциплины «математика»
558.73kb.
Учебная программа для высших учебных заведений по специальности
169.2kb.
Учебная программа учреждения высшего образования по учебной дисциплине для специальности: 1-31 02 01-02
600.31kb.
Учебная программа учреждения высшего образования по учебной дисциплине для специальности
398.9kb.
Учебная программа для специальностей: 1 23 01 08-01 Журналистика
216.56kb.
Учебная программа для специальности 1-21 80 11 Литературоведение 2010 Составитель
131.46kb.
Учебная программа для высших учебных заведений по направлению 1-31 01 01 03 «Биотехнология»
68.54kb.
Программа вступительного экзамена по специальности для поступающих в магистратуру по специальности «6M020600 религиоведение»
213.58kb.
Теоретическая механика типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальности
90.13kb.