takya.ru страница 1
скачать файл
Исторический материал по теме « Л. Магницкий»
Данный материал можно использовать на уроках математики в 5 - 6 классе при изучении следующих тем:

  1. Доли и дроби;

  2. Процентное отношение,

  3. Решение задач на проценты;

  4. Деление чисел

Некоторые задачи можно преподнести также на этапах актуализации знаний в 7 – 9 классах.

Цель: развитие познавательного интереса учащихся, умения анализировать задачные ситуации, использовать арифметический метод при решении текстовых задач.

Задачи:

Л: формирования диалектико-материалистического мировоззрения, научного и теоретического мышления, эмоционально-мотивационной сферы и системы ценностей учащихся.

М: умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в окружающем мире. Развитие смекалки и сообразительности, умение ставить вопросы, отвечать на них.

П: умение применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов.
Леонтий Филиппович Магницкий (1669 - 1739)

«… именован прозванием Магницкий

и учинён Российскому благородному

юношеству учителем математики...»

Петр I

9 июня 1669 в Тверской губернии родился Леонтий Магницкий. Сведений о том, где и как получил образование нет. Позднее его сын по этому поводу напишет: «…наукам изучался дивным и неудобоверотным способом…».

В конце ΧVΙΙ в. Магницкий живет в Москве и является широко известным своей образованностью человеком. В январе 1701 года Петр Ι подписал указ об учреждении в Москве математико-навигационной школы.

22 февраля 1701 года учителем школы по приказу Петра был назначен Леонтий Магницкий, ему же было поручено написать для школы учебник математики и навигации.

Умер Леонтий Филиппович 30 октября 1739 года в возрасте 70 лет.

Вся его жизнь, знания и усердие были посвящены становлению математической школы в России и процветанию Отечества. Книга «Арифметика, сиречь наука числительная…», автором которой был выдающийся педагог – математик Леонтий Магницкий была издана в 1703 году. Напечатанная на славянском языке, в то время он стала энциклопедией математики. В ней были изложены арифметика, основы алгебры, сведения по геометрии, тригонометрия, мореходная астрономия и навигация с необходимыми таблицами и множество задач.

На первой странице книги изображен дворец науки. На престоле царица «Арифметика», в правой руке символический ключ – ключ ко всем знаниям. К познанию ведут пять ступеней: счисление, сложение, вычитание, деление и умножение.

В первой части первой книги «Арифметика» изложена нумерация целых чисел и все действия с целыми числами. Во второй части рассматриваются числа ломаны, т. е. дроби.



Математика – это «… художество честное, независтное и всем удобопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее».
Леонтий Магницкий

Характерно, что в тексте «Арифметики» цифры употребляются современные – арабские, а год издания книги и нумерация листов в славянской. Это был период замены устаревшей нумерации на более современную.

Первый ученик был предназначен юным воспитанникам, а изложенная наука была очень сложной. Позже Ломоносов назвал «Арифметику» «…вратами учености».

Этот учебник был издан типографическим способом в 1703 году необычайно большим по тем временам тиражом – в количестве 2400 экземпляров. Эта книга на протяжении 50 лет была основным учебником по математике для всех учебных заведений России. Задачи из учебника Магницкого оказались весьма жизнеспособны, многие из них перешли в последующие учебники, и до настоящего времени они часто приводятся авторами арифметических и алгебраических задачников. Эти задачи весьма интересны, они дают возможность почувствовать колорит и особенности языка той эпохи.

Многие его задачи пользуются большой популярностью в школьном курсе математики. Рассмотрим некоторые из этих задач.
Задача 1.  В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов". 

Запишем условие задачи

Количество ног – 94

Количество голов – 35

Пусть в клетке было х фазанов, тогда кроликов было (35-х) голов. У фазанов было 2х ног, а у кроликов 4(35-х) ног. Так как всего было 35 ног, то получим уравнение: 2х+ 4(35-х) = 94

Решение 


2х + 4(35-х) = 94

2х + 140 – 4х = 94

2х – 4х = 94 – 140

-2х = - 46

Х = - 46 : (-2)

Х = 23 (фазана)

35 – 23 = 12 (кроликов) 

Ответ: фазанов – 23, кроликов – 12



... Диалог, найденный нами у старых мастеров методики математики и вызывающий у детей живейшее участие в решении задачи (в скобках показаны действия, выполняемые для получения ответа на вопрос): 

— Дети, представим, что наверх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? 

— 70 (35•2 = 70). 

— Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные? 

— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов. 

— Сколько их? 

— 24 (94 – 70 = 24). 

— Сколько же кроликов? 

— 12 (24:2 = 12). 

— А фазанов? 

— 23 (35 – 12 = 23). 

Задача 2 Мама раздала детям по четыре конфеты, и три конфеты остались лишними. А чтобы дать детям по пять конфет, двух конфет не хватает. Сколько было детей? 

— Представим, что мама раздала детям по четыре конфеты.


Сколько конфет у нее осталось? 

— Три.


— Если она продолжит раздавать конфеты, то по сколько конфет она даст каждому? 

— По одной (5 – 4 = 1).

— Скольким детям хватит еще по одной конфете? 

— Троим.


— А скольким не хватит? 

— Двоим. 

— Сколько же было детей? 

— Пять (3 + 2 = 5).  

Рассмотрим решение этой задачи с помощью уравнения.
4х+3=5х-2
4х-5х=-2-3
-х=-5
Х=5

Ответ: 5 детей

Рассмотрим некоторые способы решения старинных задач.

Метод ложного положения
Задача Спросил некто учителя: «Сколько у тебя в классе  учеников?» Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолька  и четвертая часть и твой сын, тогда будет у меня 100 учеников».  Спрашивается, сколько  было у учителя учеников? 

Долгое время этот метод заменял применение уравнений первой степени при решении задач, приводимых к этим уравнениям. Л.Ф. Магницкий называет раздел своей "Арифметики", трактующей этот вопрос, "О правилах фальшивых или гадательных".

В русской учебной литературе "фальшивое правило" имеется во всех руководствах ХVIII в. и в значительной части учебников XIX в. 

"Через второе фальшивое правило" 792:22=36 Толико бяше в том училище учеников.

В первом столбце подсчитывается, что при первом предположении (учеников было 24), мы получили всего 67, меньшее чем 100 на 33. Во втором столбце таким же образом находится, что при втором предположении, что учеников было 32, получается 89, меньше на 11.

Л.Ф.Магницкий пишет: "Через второе фальшивое правило", т.е. имеем тот случай, когда оба положения дали "меньше". В середине он выписывает оба положения и оба отклонения. Тут же крестом указывает, какое число, на какое надо умножить и выполняется умножение 32*33=1056 и 24*11=264, 1056-264=792 и указывается, что по "второму фальшивому правилу" надо найти разность отклонений 33-11=22 и способом вычерчивания выполняется деление 792:22=36. "Толико бяше в том училище учеников".

По "методу весов"   решение располагалось бы так. Даем три решения при следующих положениях: 

Правило решения можно записать так: "Возьми для неизвестного числа, какое ты хочешь, назови его "первое положение" и поступай согласно условию задачи. Если оно подходит к условию, то это и есть неизвестное, но если оно отклоняется в ту или другую сторону, назови разницу первым отклонением. Тогда возьми другое число и назови вторым положением; если оно не удовлетворяет условию, то даст второе отклонение. После этого умножай первое положение на второе отклонение и назови произведение первым результатом; затем второе положение умножай на первое отклонение и это есть второй результат. Если оба отклонения в одно и тоже время больше или оба меньше, дели разность двух результатов на разность двух отклонении; если дело обстоит иначе, дели сумму двух результатов на сумму отклонений; частное и есть искомое число.

Старинные русские меры сменились в России в начале XX века метрической системой. Преимущество последней мы видим при решении задач определенного типа – это решение задач с помощью уравнений.

Тройное правило.

Устанавливается правило письма данных в задачах, и после этого решение задач сводится к механическим умножениям и делениям.

У старых авторов и Л.Ф. Магницкого это правило называется строкой, т.к. для механизации вычислении данные писались в строку. Для величин прямо пропорциональных следовало писать данные в одном порядке, для величин обратно пропорциональных — в другом (правило называлось тройным, т.к. в строку записывались три известных числа из условия задачи).

Примеры:

Задача 1.  За 2 рубля можно купить 6 предметов. Сколько их можно купить на 4 рубля? 

2 - 6 - 4. Перемножая второе и третье числа и деля произведение на первое, получаем ответ (6*4:2= 12 (пр.)).



Задача 2. 20 рабочих могут выполнить работу в 30 дней. Сколько рабочих могут сделать ту же работу в 5 дней? 

5 — 20 — 30 Снова умножаем второе число на третье и делим произведение на первое число 20*30:5= 120 (р.)

Правильность механического решения зависит целиком от правильности записи данных задачи. Поэтому Л.Ф. Магницкий в конце раздела говорит:

А смотри всех паче

Разума в задаче,

Потому бо знати,

Как сие решати.
Задачи на смешение
Старинный способ решения задач на смешение двух веществ позволяют получить правильный ответ.

Предположим, что смешиваются два вещества — первое стоимостью, а гривен за фунт и второе стоимостью b гривен за фунт. Желательно получить вещество стоимостью с гривен за фунт. Будем считать, что аb или с<а, то задача неразрешима, ибо смешивая дешевые вещества, дорогое не получишь).

Поэтому можно считать, что а<с

Задача 1. У некоторого человека были продажные масла: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?

Решение: Друг над другом пишутся стоимости имеющихся масел, слева от них и примерно посередине - стоимость масла, которое должно получиться после смешения.

Меньшую цену вычтем из цены смешанного масла и результата поставим справа от большей цены. Затем из большей цены вычтем цену смешанного масла и запишем справа от меньшей цены. Получим такую картину:

Делается заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра масла ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого - 3/4 ведра. (Проверка: 1/4*10+3/4*6=28/4=7 гривен)

Задача 2.Некто имеет серебро разных проб: одну — 12 пробы, другое — 10 пробы, третье — 6 пробы. Сколько какого серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра 9 пробы?

Решение: запишем схематически

Отсюда следует, что надо взять 4/10 фунта серебра 6 пробы, 3/10 фунта серебра 10 пробы и 3/10 фунта серебра 12 пробы.



Задача 3. Имеет некто чай 3-х сортов — цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти три сорта, чтобы получить чай по 6 гривен за фунт?

Вот решение из "Арифметики"  Л.Ф.Магницкого: "А когда случится мешати три товара из них же сделати четвертый по желаемой цене и тогда един перечень малейший дважды в правиле полагается. Яко же эдесь видимо есть:

Здесь предлагается взять 6+2=8 частей чаю ценою по 5 гривен и по одной части чая ценой 8 гривен и 12 гривен за фунт.

Указанный Л.Ф.Магницким способ состоит в следующем. Надо дважды применить способ записи исходных данных и необходимых количеств веществ, причем в первый раз взять вещества с большей и меньшей стоимостью, а во второй раз с наименьшей и средней стоимостью.

Повторив действие вычитания и соответствующей записи разности, получим доли, в которых нужно смешивать вещества наибольшей и средней стоимости (на соответствующих строках). Сложив доли дешевого вещества, найденные в первый и второй раз, получим долю дешевого вещества в общей смеси.

Задача 4. Имеется серебро: одно 11 пробы, а другое 14 пробы. Сколько, какого серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра 12 пробы?

2/3 фунта серебра 11 пробы и 1/3 фунта серебра 14 пробы.


В России существовала золотниковая система обозначения пробы на основе русского фунта, содержащего 96 золотников, по которой проба выражалась весовым количеством благородного металла в 96 единицах сплава, например, слова "серебро 11 пробы" означают, что в 96 частях сплава содержится 11 частей серебра.

В наше время проба обозначает число частей благородного металла в 1000 частях (по массе) сплава.

Задачи на смешение трех веществ могут иметь не единственное решение.

Предположим, что смесь, составленная из а фунтов цейлонского чая, b фунтов индийского и с фунтов китайского чая имеет цену 6 гривен за фунт. Тогда

5а+8b+12с

————— = 6     или а=6с+2b.

а+b+с

Значит эта смесь может быть получена соединением смесей I (цейлонский и китайский в отношении 6:1) и II (цейлонский и китайский в отношении 2:1), в отношении с:b.



Задача 5. Современная задача на смешение тоже может быть решена этим старинным способом: Имеются два раствора 68% и 78%-ной серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора, чтобы получить 100г. 70% -ного раствора серной кислоты?

Надо взять 80г. 68% кислоты и 20 г. 78% -ного раствора серной кислоты.


Заключение


  1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью мы получаем опыт работы с величинами, постигаем  взаимосвязи между ними, получаем опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач.

  2. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и развивать важные общеучебные  умения. 

  3. Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности, но и позволяют им осваивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики.


Литература:

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 5 класс. Учебник. 6-е изд.

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6 класс. Учебник. 6-е изд.

Макарычев Ю.Н. Макарычев Алгебра 7 класс Учебник.

Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты/Математика в школе, 1988, № 4.

Чистяков В.Д.   Сборник старинных задач по элементарной математике с историческими экскурсами и подробными решениями.   



Фролов П.А. «Лермонтовские Тарханы».

Висковатый П.А. «Михаил Юрьевич Лермонтов. Жизнь и творчество» , 1891 г.
скачать файл



Смотрите также:
Уроках математики в 5 6 классе при изучении следующих тем: Доли и дроби; Процентное отношение, Решение задач на проценты
113.5kb.
Урок математики в 4 классе. Учитель Коцюба Н. Н. Тема урока: «Решение задач»
30.54kb.
Арифметические преобразования. Пропорция. Степени и корни. Арифметический корень. Модуль числа. Действия со степенями с целым и дробным показателем. Формулы сокращенного умножения. Решение задач. Консультация
47.83kb.
«Строительство нового города» дается в 8 классе при изучении Истории России XVIII в
15.5kb.
Данная тема изучается в разделе "Соединения химических элементов" на уроках химии в 8 классе и занимает одно из главных мест, т к. здесь идёт знакомство с важнейшими соединениями веществ, которые нас окружают
100.88kb.
«Решение задач на проценты»
27.85kb.
Предлагаемый материал можно использовать для проведения уроков по Информатике и икт при изучении алгоритмов работы с целыми числами
109.71kb.
План – конспект урока математики 1 класс
74.14kb.
1. Начало возрождения Руси
88.9kb.
Алгоритм учебной деятельности школьников
98.66kb.
Положение №12 о методическом объединении учителей-предметников
46.1kb.
Чернова Антонина Константиновна; Степанова Мария Федоровна; Кириллова Перасковия Кирилловна; Дмитриева Клавдия Андреевна; Кудякова Иустина Архиповна; Николаева Пелагия Марковна; Трофимова Анна Якимовна
109.63kb.