takya.ru страница 1страница 2
скачать файл



СБОРНИК ЗАДАНИЙ

ПО МАТЕМАТИКЕ
Контрольные задания и программа по курсам математики и математических методов в экономике

для студентов заочного отделения


Санкт-Петербург

2005

Утверждены Методическим Советом СПбГАСЭ



Сборник заданий по математике. Контрольные задания и программа по курсам математики и математических методов в экономике для студентов заочного отделения. - СПб.: Изд-во СПбГАСЭ, 2005. – 32 с.

Сборник содержит задачи для контрольных работ по всем курсам математических дисциплин, предусмотренным учебными планами специальностей, и краткий перечень вопросов для подготовки к экзаменам.

Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов данного сборника, выбранных в соответствии с рабочей программой.

Перечень разделов сборника, необходимых для выполнения контрольных работ по каждой специальности, сообщается студентам этой специальности в начале семестра.


Составители: канд. физ.-мат. наук, проф. С.И.Никитин;

канд. физ.-мат. наук, доц. А.Л.Пирозерский;

канд. физ.-мат. наук, доц. Н.Ю.Кропачева;

старший преподаватель М.Ю.Никанорова.

© Санкт-Петербургская государственная академия сервиса и экономики

2005 г.
Содержание


Требования к оформлению контрольных работ ...................................... 4

Формирование исходных данных к задачам ............................................ 4

Раздел 1. Линейная алгебра .................….............................................. 5


Раздел 2. Аналитическая геометрия ...................................................... 6

Раздел 3. Дифференциальное исчисление............................................. 7

Раздел 4. Интегральное исчисление ...................................................... 8

Раздел 5. Функции нескольких переменных ........................................ 9

Раздел 6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы ................. 9

Раздел 7. Элементы теории поля ........................................................... 10

Раздел 8. Дифференциальные уравнения .............................................. 11

Раздел 9. Ряды .......................................................................................... 12

Раздел 10. Функции комплексного переменного ................................... 13

Раздел 11. Операционное исчисление ..................................................... 14

Раздел 12. Теория вероятностей .............................................................. 15

Раздел 13. Математическая статистика .................................................. 16

Раздел 14. Линейное программирование ................................................ 18

Раздел 15. Математические методы в экономике .................................. 21

Раздел 16. Дискретная математика .......................................................... 23

Краткое содержание (программа) курса.................................................... 25


Список учебной литературы ...................................................................... 31

Требования к оформлению контрольных работ

1. Контрольные работы следует выполнять в ученических тетрадях в клетку. На обложке необходимо указать: название института Академии; название кафедры (математики и математических методов в экономике); название и номер контрольной работы; название (номер) специальности; фамилию, имя, отчество и личный шифр студента.

2. На каждой странице надо оставить поля размером 4 см для оценки решения задач и методических указаний проверяющего работу.

3. Условия задач переписывать полностью необязательно, достаточно указать номер задачи по данному сборнику. В условия задач надо сначала подставить конкретные числовые значения параметров т и п, и только после этого приступать к их решению.

4. Задачи в контрольной работе нужно располагать в порядке возрастания номеров.
Формирование исходных данных к задачам

Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов сборника.

Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако числовые данные задач зависят от личного шифра студента, выполняющего работу.

Числовых данных параметров т и п определяются по двум последним цифрам своего шифра (А — предпоследняя цифра, В последняя цифра). Значение параметра т выбирается из таблицы 1, а значение параметра п - из таблицы 2. Эти два числа т и п и нужно подставить в условия задач контрольной работы.

Таблица 1 (выбор параметра т)


А

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

т

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Таблица 2 (выбор параметра п )

В

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

п

5

3

2

4

1

4

5

2

3

1

Например, если шифр студента 1604 — 037, то А = 3, В = 7, и из таблиц находим, что т = 4, п = 2. Полученные т = 4 и п = 2 подставляются в условия всех задач контрольной работы этого студента.




  1. Линейная алгебра


1.1. Действия с матрицами.

Выполнить действия:

а) ; б) .

1.2. Вычисление определителей.

Вычислить определитель двумя способами:

а) по правилу «треугольников»; б) разложением по строке.

1.3. Обратная матрица.

Найти обратную матрицу к матрице и проверить выполнение равенства .



1.4. Системы линейных уравнений.

Решить систему уравнений тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью вычисления обратной матрицы, записав систему в матричном виде :





1.5. Собственные числа и собственные векторы.

Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы для матрицы .



2. Аналитическая геометрия
2.1 Прямая на плоскости.

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках , , и найти:



  1. координаты точки пересечения медиан;

  2. длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;

  3. площадь треугольника;

  4. систему неравенств, задающих внутренность треугольника АВС.

2.2 Кривые второго порядка на плоскости.

Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой равно . Привести уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.



2.3 Прямая и плоскость в пространстве.

Дана треугольная пирамида с вершинами в точках , , , ,. Найти:

a) уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С;

б) величину угла между ребром SC и гранью АВС;

в) площадь грани АВС;

г) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВС, и ее длину;

д)объем пирамиды SАВС.

3. Дифференциальное исчисление.


    1. Пределы, непрерывность и разрывы функций.

      1. Найти пределы функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .



      1. В точках и для функции установить непрерывность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции в окрестностях этих точек:

;

Производные функций.

      1. Найти производные функций:

а) ; б) ;

в) ; д) ; е) ;

ж)


    1. Приложения производной.

      1. С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции .

    2. Приближенное решение алгебраических уравнений.

      1. Для уравнения отделить положительный корень и найти его приближенно с точностью :

а) методом деления отрезка пополам;

б) методом касательных.



Примечание. Можно считать, что точность достигнута, если разность между соседними приближениями и удовлетворяет неравенству .


  1. Интегральное исчисление.




    1. Неопределенный интеграл.

      1. Найти интегралы:

а) ; б) ; д) .




    1. Несобственные интегралы.

      1. Вычислить интеграл или установить его расходимость:




    1. Применения определенных интегралов.

      1. Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

;


      1. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

.


    1. Приближенное вычисление определенных интегралов.

      1. Для вычисления определенного интеграла , разбивая отрезок интегрирования сначала на 10 равных частей, а затем на 20 равных частей, найти приближенное значение и : а) по формуле трапеций; б) по формуле Симпсона. Оценить точность приближения с помощью разности .




  1. Функции нескольких переменных.




    1. Частные производные и дифференциал функции.

      1. Найти дифференциал функции .

      2. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

    2. Приложения частных производных.

      1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

      2. Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .




  1. Двойные, тройные и криволинейные интегралы.




    1. Двойные интегралы.

      1. Изменить порядок интегрирования:

.

      1. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями и плоскостью, проходящей через точки и .

      2. Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) .

    1. Тройные интегралы.

      1. Найти , если тело V ограниченно плоскостями и .

      2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

    2. Криволинейные интегралы.

      1. Вычислить , где , , а контур С образован линиями , : а) непосредственно; б) по формуле Грина.

      2. Вычислить , где контур С является одним витком винтовой линии:

.


  1. Элементы теории поля.

    1. Дифференциальные операции.

      1. В точке составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой


.


      1. Найти в точке градиент скалярного поля

.

      1. Найти в точке дивергенцию векторного поля

.

      1. Найти в точке ротор векторного поля

.

    1. Интегралы и интегральные теоремы.

      1. Убедиться, что поле потенциально, и найти его потенциал.

      2. Даны поле и цилиндр D, ограниченный поверхностями z=0, z=m, x2+y2=(n+1)2. Найти:

а) поток поля через боковую поверхность цилиндра в направлении внешней нормали;

б) поток поля через всю поверхность цилиндра в направлении внешней нормали непосредственно и с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.



      1. Даны поле и замкнутый виток , ( обход контура происходит в направлении, соответствующем возрастанию параметра φ). Найти циркуляцию поля вдоль контура γ непосредственно и с помощью теоремы Стокса.




  1. Дифференциальные уравнения.




    1. Уравнения первого порядка.

      1. Найти общее решение уравнения:

а) ; б) ; в) .

      1. Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла миллионов рублей.

    1. Линейные уравнения высших порядков.

      1. Решить задачу Коши:

а)

б) .



    1. Системы линейных уравнений.

      1. Решить систему линейных уравнений

с начальными условиями .

  1. Ряды.

    1. Числовые ряды.

      1. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

а) ; б) ;

в) ; г) .



      1. Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды:

а) ; б) .

    1. Степенные ряды.

      1. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ; б) .


      1. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х0:

а) ; б) .

      1. С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с точностью 0,001 значения:

а) ; б) .

    1. Ряды Фурье.

      1. Разложить функцию в ряд Фурье в указанном интервале:

а)

в интервале ;

б) в интервале .

в) в интервале .




  1. Функции комплексного переменного.

    1. Действия с комплексными числами.

      1. Выполнить действия:

а) ; б) .

      1. Решить уравнения:

а) ; б) .

    1. Аналитические функции.

      1. Показать, что функция аналитична.

      2. Известна вещественная часть u(x,y)=m(x2-y2)+mx-ny аналитической функции f(z), (z=x+iy). Найти функцию f(z).

    2. Интегрирование функций комплексного переменного.

      1. Вычислить , где контур С – незамкнутая ломанная, соединяющая точки , и .

      2. Вычислить с помощью интегральной формулы Коши

.

    1. Ряды Тейлора и Лорана.

      1. Разложить функцию в окрестности точки в ряд Тейлора и найти радиус сходимости ряда.

      2. Разложить функцию в окрестности точки в ряд Лорана.

      3. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням и найти область сходимости ряда.

    2. Вычеты и их приложения.

      1. Определить тип особых точек функции и найти вычеты в конечных особых точках.

      2. Вычислить с помощью вычетов , где контур C, заданный уравнением , обходится против часовой стрелки.

  1. Операционное исчисление.

    1. Нахождение изображений и восстановление оригиналов.

      1. Найти изображения функций:

а) ; б) .

      1. Восстановить оригиналы по изображениям:

а) ; б) .

    1. Приложения операционного исчисления.

      1. Решить операционным методом дифференциальное уравнение:

а) ;

б) .




  1. Теория вероятностей.

    1. Случайные события.

      1. В коробке находятся m+2 синих, n+3 красных и 2n+1 зеленых карандашей. Одновременно вынимают m+3n+2 карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет m+1 синих и n+1 красных.

      2. В первой урне находятся m+2 шаров белого и n шаров черного цвета, во второй — m+n белого и m синего, в третьей — n+3 белого и m+1 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.

      3. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна . Производится n+4 выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.

    2. Случайные величины.

      1. Случайная величина Х равна числу появлений «герба» в серии из n+3 бросаний монеты. Найти закон распределения и функцию распределения F(x) этой случайной величины; вычислить ее математическое ожидание MX и дисперсию DX; построить график F(x).

      2. Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:




xi

-2

-1

0

m

m+n

pi

0,2

0,1

0,2

p4

p5

Найти вероятности p4, p5, и дисперсию DX, если математическое ожидание MX=-0,5+0,5m+0,1n.



      1. Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

Найти:


а) параметр а; б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания случайной величины X в интервал



;

г) математическое ожидание MX и дисперсию DX.

Построить график функций и .


      1. Случайные величины имеют равномерное, пуассоновское и показательное распределения соответственно. Известно, что математические ожидания i=m+n, а дисперсия 1=n2/3. Найти вероятности: а) ; б) ; в) .




  1. Элементы математической статистики

Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб.:




№ предприятия

Выпуск продукции

Прибыль

№ предприятия

Выпуск продукции

Прибыль

 


1

60+n

15,7

16

52,0

14,6

2

78,0

18,0

17

62,0

14,8

3

41,0

12,1

18

69,0

16,1

4

54,0

13,8

19

85,0

16,7

5

60+n

15,5

20

70+n

15,8

6

n•m+20

n+m+10

21

71,0

16,4

7

45,0

12,8

22

n•m+30

n+m+20

8

57,0

14,2

23

72,0

16,5

9

67,0

15,9

24

88,0

18,5

10

80+n

17,6

25

70+n

16,4

11

92,0

18,2

26

74,0

16,0

12

48,0

n+m+5

27

96,0

19,1

13

59,0

16,5

28

75,0

16,3

14

68,0

16,2

29

101,0

19,6

15

80+n

16,7

30

70+n

17,2

По исходным данным:



Задание 13.1.

  1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте графики ряда распределения.

  2. Рассчитайте числовые характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли: среднюю арифметическую , среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации V. Сделайте выводы.

Задание 13.2.

  1. Определите границы, в которых с вероятностью 0,997 заключена сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности.

  2. Используя 2-критерий Пирсона, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина X – сумма прибыли – распределена по нормальному закону.

Задание 13.3.

  1. Установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведённой продукции (X) и суммой прибыли на одно предприятие (Y). Постройте диаграмму рассеяния и линию регрессии.

  2. Определите коэффициенты выборочного уравнения регрессии .

  3. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами X и Y, используя шкалу Чеддока.

При расчетах целесообразно использовать стандартные математические пакеты для персональных компьютеров.



  1. Линейное программирование.

    1. Задача оптимального производства продукции.

Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В, и С. Потребность на каждую единицу -го вида продукции -го вида сырья, запас соответствующего вида сырья и прибыль от реализации единицы -го вида продукции заданы таблицей:


Виды сырья

Виды продукции

Запасы

сырья


I

II

А







В







С







прибыль








план (ед.)











      1. Для производства двух видов продукции I и II с планом и единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее единиц обоих видов продукции.

      2. В условиях задачи 14.1.1. составить оптимальный план производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль . Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс – методом)

      3. Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путем. Определить соответствующую прибыль .

    1. Транспортная задача.

На трех складах , и хранится , и единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям , и , заказы которых составляют , и единиц груза соответственно. Стоимость перевозок единицы груза с -го склада -му потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клеток транспортной таблицы:


потребности

запасы


















4

2











5



3





1





6




      1. Сравнивая суммарный запас и суммарную потребность в грузе, установить, является ли модель транспортной задачи, заданная этой таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо закрыть, добавив фиктивный склад с запасом в случае или фиктивного потребителя с потребностью в случае и положив соответствующие им тарифы перевозок нулевыми.

      2. Составить первоначальный план перевозок. (Рекомендуется воспользоваться методом наименьшей стоимости.)

      3. Проверить, является ли первоначальный план оптимальным в смысле суммарной стоимости перевозок, и если это так, то составить оптимальный план

,

обеспечивающий минимальную стоимость перевозок . Найти эту стоимость. (Рекомендуется воспользоваться методом потенциалов.)



    1. Матричные игры.

      1. Игра задана матрицей

Найти вероятности применения стратегий 1-м и 2-м игроком для получения цены игры. (Задачу решить аналитическим методом.)



      1. Игра задана матрицами

для - четного

и

для - нечетного.

Применяя графический метод, найти смешанные оптимальные стратегии обоих игроков и определить цену игры.



  1. Математические методы в экономике.

    1. Сетевое планирование.

Прогресс производства сложной продукции разбивается на отдельные этапы, зашифрованные номерами 1, 2,..., 10. 1 – начальный этап производства продукции, 10 – завершающий. Переход от -го этапа к -му этапу назовем операцией. Возможны выполнения операций и их продолжительности задаются таблицей.

N

п/п


шифр операции

продолжительность операции

15.1.1. Составьте и упорядочите по слоям сетевой график производства работ. Номера этапов необходимо обвести кружками, а операции обозначить стрелками, проставляя над ними продолжительность операции.





1

1→2



2

1→3

4

3

1→4



4

2→3

3

5

2→6

5

6

4→3

2

7

4→6

6

8

3→5

3

15.1.2. Считая, что начало работы происходит во время , определите время окончания каждого -го этапа и проставьте его над соответствующим кружком.

9

3→7



10

5→9



11

6→7

4

12

6→8

3

13

7→8

7

14

7→9



15

7→10

5

16

8→10

4

17

9→10






      1. Найдите критическое время завершения процесса работ Ткр и выделите стрелки, лежащие на критическом пути.

      2. Для каждой некритической операции определите резервы свободного времени и проставьте их над стрелками рядом с в скобках.

      3. Решите задачу табличным методом. Номера этапов, лежащие на критическом пути подчеркните. (В табличном методе кроме резервов свободного времени необходимо также найти полные резервы времени для каждого этапа.)

    1. Системы массового обслуживания (СМО).

В парикмахерский салон приходит в среднем клиента в час (т.е. интенсивность поступления заявок в систему равна /час), а среднее время обслуживания одного клиента равно 1/ часов. Содержание одного рабочего места обходится в тысяч рублей за 1 час, а доход от обслуживания одного клиента составляет тысяч рублей в час.

      1. Найти относительную пропускную способность СМО (т.е. вероятность того, что поступившая заявка будет обслужена) и абсолютную пропускную способность СМО (число заявок, обслуживаемых за 1 час), если салон обслуживает два мастера.

      2. Найти доход , полученный за 1 час работы двух мастеров.

      3. Найти аналогичные характеристики СМО , и , когда салон обслуживают три мастера, и определить, выгодно ли принять на работу третьего мастера с точки зрения общего дохода, полученного за 1 час работы салона.




    1. Задача межотраслевого баланса.

Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязь определяет матрица А коэффициентов прямых затрат

,

в которой число , стоящее на пересечении -ой строки и -го столбца равно , где – поток средств производства из -ой отрасли в -ую, а – валовой объем продукции -ой отрасли (все объемы продукции выражаются в единицах стоимости).

Задан также вектор объемов конечной продукции.


      1. Составить уравнение межотраслевого баланса.

      2. Решить систему уравнений межотраслевого баланса, то есть найти объемы валовой продукции каждой отрасли обеспечивающие потребности всех отраслей и изготовление конечной продукции Y. (Расчеты рекомендуется производить с точностью до двух знаков после запятой)

      3. Составить таблицу Х потоков средств производства .

      4. Определить общие доходы каждой отрасли .

      5. Результаты расчетов оформить в виде таблицы межотраслевого баланса:




потребляющие отрасли

отрасли производящие



I

II

III

конечный продукт



валовой

продукт




I











II











III











общий доход













валовой продукт
















      1. Найти матрицу коэффициентов полных затрат по формуле , где Е – единичная матрица размера .



  1. Дискретная математика.

    1. Двоичная система счисления.

      1. Записать число в двоичной системе счисления.

Например:





      1. Определить четырехзначное двоичное число своего задания. Для этого необходимо взять последние 4 цифры полученного в задаче 16.1.1. двоичного числа. Если в нем меньше четырех цифр, то слева нужно дописать нули.

Так: ,



    1. Логика высказываний.

Пусть принимает значения 0 либо 1 ( = 1, 2, 3, 4). Положим

По четырехзначному двоичному числу , полученному в задаче 16.1.2, составьте формулу логики высказываний

для своего задания. Так, например, двоичному числу 0110 (где ) соответствует формула , а двоичному числу 1010 - формула . Для полученной формулы:

16.2.1. Найти таблицу истинности.

16.2.2. Определить, эквивалентны ли она и формула .

16.2.3. Найти совершенную дизъюнктивную нормальную форму и совершенную конъюнктивную нормальную форму:

а) табличным методом, б) непосредственным преобразованием.

16.2.4 Составить минимальную релейно-контактную схему, приведя формулу к минимальной дизъюнктивной форме.
Краткое содержание (программа) курса

1. Линейная алгебра.

Матрицы, действия над ними. Определители, их свойства и вычисление. Обратная матрица. Системы линейных уравнений, условие их совместности. Формулы Крамера, метод Гаусса и матричный способ решения систем. Линейный оператор. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.



2. Аналитичеcкая геометрия.

Простейшие задачи аналитической геометрии (расстояние между точками, деление отрезка в заданном отношении). Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений, угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Геометрический смысл линейных уравнений и неравенств. Кривые второго порядка, их канонические уравнения.

Векторы, линейные операции над ними. Координаты вектора, его длина, направляющие косинусы. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, условия их перпендикулярности, коллинеарности, компланарности.

Плоскость в пространстве, ее уравнения, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве, ее общие и канонические уравнения. Угол между прямой и плоскостью.


скачать файл


следующая страница >>
Смотрите также:
Утверждены Методическим Советом спбгасэ сборник заданий по математике. Контрольные задания и программа
359.02kb.
Сборник нормативных положений и рекомендаций по учебной работе
862.37kb.
Сборник математические и графические диктанты. Тесты
12.25kb.
Требования к учителю-предметнику
117.42kb.
Демонстрационный вариант диагностического тестирования по математике 4 класс При выполнении заданий А1-А14 в бланке ответов под номером выполняемого задания поставьте знак
23.02kb.
Зав кафедрой А. А. Борисов Утверждена Учебно-методическим Советом ниу вшэ пермь «01» марта 2012 г
439.57kb.
Рабочая программа по изобразительному искусству составлена на основе примерной программы основного общего образования по изобразительному искусству Сборник нормативных документов
105.95kb.
Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. В. И. Ермакова. М.: Инфра-м, 2001
45.66kb.
Методические указания и контрольные задания для студентов Омск -2011 рекомендации по выполнению контрольной работы
508.89kb.
Утверждено
28.05kb.
Х. Х. Аджиев положение об экспертной комиссии моу «оош №8 г. Баксана» Общие положения
35.57kb.
Принято Методическим Советом моудод «Дом детского творчества»
93.19kb.