takya.ru страница 1
скачать файл
Контрольное задание

Задача № 1. Расчет резистивной цепи методом преобразований.

Задача № 2. Расчет резистивной цепи общими методами.

Задача № 3. Расчет пассивного двухполюсника в комплексных амплитудах.

Задача № 4. Расчет переходного процесса в цепи первого порядка классическим методом.

Задача № 5. Расчет переходного процесса в цепи второго порядка операционным методом.

Задание 1

Задание 2



Задание 3



Задание 4



Задание 5



Методичка ниже.



Методические указания к задаче 1

В задаче 1 рассматривается резистивная цепь с одним источником напряжения или тока и смешанным соединением резистивных элементов. Смешанное соединение состоит из последовательного и параллельного. В последовательном соединении все элементы находятся под одним током. Признак последовательного соединения – два элемента или участка имеют один общий узел. Эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений последовательно соединенных элементов.

В параллельном соединении все элементы находятся под одним напряжением. Признак параллельности – два общих узла у всех элементов или участков. Эквивалентная проводимость равна сумме проводимостей параллельно соединенных элементов.

Узел – это место электрического соединения элементов или участков. Узел может быть точкой или системой точек, соединенных короткозамкнутыми перемычками. При анализе способа соединения элементов узлы удобно обозначать цифрами или буквами.

В первой части задачи следует заданную цепь свернуть ко входу (источнику), определив входное сопротивление или входную проводимость в соответствии с изложенными методическими указаниями.

Затем, пользуясь законом Ома в виде:



, ,

последовательно определить напряжения и токи на всех участках цепи, задав их направление в соответствии с направлением источника.

Наконец, произвести проверку полученного решения, рассчитав баланс мощности.

Варианты приведены в Приложении 1. На схемах указаны ЭДС в вольтах, токи источников токов в амперах и сопротивление элементов в омах. Номера элементам присваиваются произвольно, расчет производится в общем виде, затем подставляются исходные данные.



Пример 1.1

Исходную схему на рис. 1.1, а представили в виде рис. 1.1, б



2

3



2

1

2



4

4

4

2


d

a


5

6


3

1


c

b


b

а)

б)

Рис. 1.1


Преобразуем схему к узлам «ad», на которых размещен источник . Участок «ab» и участок «bd» имеют общий узел «b», поэтому:

.

Элементы 1 и 2 имеют общий узел «a» и «b», поэтому:



, , , .

На участке «bd» элемент 5 и участок 346 параллельны, следовательно:



, , .

Продолжая аналогичным образом, получим:



, ,

, , , .

Подставим исходные данные.



, , ,

, , ,

, , ,

, , .

Теперь рассчитаем напряжения и токи.

Ток источника общий для участков «ab» и «bd» равен:

.

Напряжения на последовательных участках «12» и «3456»:



, .

Токи на параллельных участках

«1,2»:

, .

«5,346»:


, .

Напряжение на последовательных участках «34» и «6»:



, .

Токи на параллельных участках «3» и «4»:



, .

Подставим исходные данные.



; , ;



Проверим решение, составив баланс мощности.

Мощность, отданная источником,

и мощность, полученная резисторами,



,

равны, что доказывает правильность решения.



Пример 1.2

Исходную схему на рис.1.2, а, представим в виде рис.1.2, б.

3

2

2



2

4

1



4

1


c

3


2

5


4

6


a

b


d

j

d



a)

б)

Рис. 1.2



Преобразуем схему к узлам источника «ad».

Эти узлы принадлежат двум участкам «123» и «456», поэтому:

Участок «123» состоит из двух последовательных «1» и «23» с общим узлом «b»:



а на участке «23» элементы «2» и «3» параллельны:



Аналогично:





.

Подставим исходные данные.







Рассчитаем напряжения и токи.

Напряжение на зажимах источника:

.

Токи параллельных участков «123» и «456»:



Напряжение последовательных участков «1» и «23», «4» и «56»:



Токи параллельных участков «2» и «3», «5» и «6»:



Подставим исходные данные.



,

Проверка по балансу мощности.

Мощность источника:

.

Мощность, потребленная резисторами:



.

Равенство мощностей и указывает на правильность решения.



Методические указания к задаче 2

В этой задаче рассматривается линейная резистивная электрическая цепь с несколькими источниками. Её расчет производится на основе одного из общих методов. Одним из простейших является метод токов ветвей. Его уравнения составляются по алгоритму



Уравнения (1) составляются для главных сечений по ЗТК, их число равно где число узлов.

Уравнения (2) составляются по ЗНК для главных контуров, их число равно где число ветвей с неизвестными токами.

Для выделения контуров и сечений нужно построить граф цепи, выделить дерево графа утолщенными линиями по принципу – все узлы и ни одного контура, остальные ветви (тонкие линии) назвать связями. Все источники тока объединить с параллельными сопротивлениями в единые ветви, а если это не возможно, то вырожденные ветви с источниками тока поместить в связи, источники напряжения объединить с последовательными сопротивлениями в единые ветви, а если такой возможности нет, то вырожденную ветвь с источником напряжения поместить в дерево. Все ветви построенного графа следует направить и пронумеровать, после чего составить таблицу главных контуров и главных сечений по единому принципу: главный контур – одна ветвь связи и остальные ветви дерева; главное сечение – одна ветвь дерева и остальные ветви связи. Главные контуры нумеруются и направляются ветвями связи, а главные сечения – ветвями дерева.

Уравнения (2) для главных контуров, базирующихся на связях – источниках тока, и уравнения (1) для главных сечений, основанных на вырожденных ветвях дерева с источниками напряжения, не входят в систему уравнений токов ветвей и могут быть использованы для определения напряжений источников тока и токов источников напряжения соответственно.

Метод токов связей продолжает предыдущий метод, используя следующий алгоритм для k-го главного контура



,

где токи связей;



сумма сопротивлений ветвей k-го контура (всегда положительная);

сумма сопротивлений ветвей, принадлежащих k и m или k и n контурам одновременно, положительная, если контуры в этих сопротивлениях совпадают по направлению;

сумма ЭДС в ветвях k-го контура, включая преобразованные источники тока с параллельными сопротивлениями; все ЭДС, совпадающие с направлением k-го контура, положительны.

Токи связей – источников токов, не объединенные с параллельными сопротивлениями, приравниваются к токам источников и уравнения токов связей для этих главных контуров не составляются.

Метод узловых напряжений является математическим аналогом метода токов связей, используя алгоритм для k-го узла

,

где узловые напряжения между k-м, m-м и n-м узлами и 0-м (нулевым) соответственно;



сумма проводимостей ветвей k-го узла (всегда положительная);

сумма проводимости ветвей принадлежащих k и m или k и n узлам одновременно (всегда отрицательная);

сумма токов источников, токов в ветвях k-го узла, включая преобразованные источники ЭДС с последовательными сопротивлениями, все токи, направленные к k-му узлу, положительны.

ЭДС ветви, не объединяемой с последовательным сопротивлением, приравнивается узловому напряжению, если 0-й узел выбрать одним из узлов этой ветви.

В задаче 2 необходимо выполнить следующее:

- составить в общем виде уравнения токов ветвей, уравнения токов связи и уравнения узловых напряжений;

- обосновано выбрать наименее трудоемкий метод и довести его до численного решения;

- определить остальные напряжения и токи;

- проверить баланс мощностей.

Варианты приведены в Приложении 2. На схемах указаны ЭДС в вольтах, токи источников токов в амперах и сопротивления в омах.



Пример 2.

Исходную схему на рис. 2, а представляем в виде рис. 2, в, построив предварительно ее граф (рис. 2, б).

Направив и пронумеровав его ветви и перенеся номера ветвей на рис. 2, в, после чего оформить исходные данные.

Выделим дерево графа и составим таблицу главных контуров и главных сечений. Покажем на рис. 2, б для примера контур 1 и сечение 5.

Главные контуры Главные сечения


с.3

3, 2, -1


с.4

4, -2


с.5

5, -2, -7

с.6

6, -7, -1


к.1

1, 3, 6


к.2

2, 4, 5, -3

к.7

7, 5, 6



в)

a)

(2)

(3)

7

7

6

3

4

2

5

2

1

(4)

(1)

40

10

10

10

10

20

20

2

1

6

5



4

3

2



1

7

(1)



(5)

б)

Рис. 2




,













Уравнения для контура 1 и сечения 4, опирающиеся на вырожденные ветви, не входят в систему уравнений токов ветвей и пока не составляются.

Остальные уравнения ЗТК для главных сечений и ЗНК для главных контуров в соответствии с таблицами имеют вид:

где преобразованный в ЭДС источник тока все ЭДС, входящие в состав контура и совпадающие с ним по направлению, положительны.

Уравнение токов связей составим только для главных контуров, исключая контур 1, в соответствии с приведенным ранее алгоритмом:

После решения и определения токов остальные токи (дерева) можно найти по уравнениям ЗТК для главных сечений.

Напряжения вычисляются по закону Ома, а напряжения на источник тока определяются по ЗНК для главного контура 1 как:

.

Для того, чтобы составить уравнения узловых напряжений, выберем 0-й узел на границе вырожденной ветви 4, а остальные узлы произвольно пронумеруем (рис. 2, в) и, используя аналогичный предыдущему методу алгоритм, запишем:



где k = 2, 3, 5, 6, 7; источник тока преобразован из источника напряжения все источники тока, направленные к узлу, для которого составляется уравнение, положительны.

После решения системы уравнений и определения остальные напряжения определятся по ЗНК как:



.

Токи ветвей находятся по закону Ома, если взять их направление рис. 2, б, как:





.

Токи вырожденных ветвей:



.

Для численного решения выберем уравнения токов связи, имеющие наименьшее число уравнений:











Проверка по балансу мощностей:





Баланс сошелся, значит, решение правильное.



Методические указания к задаче 3

Рассматривается линейная цепь со смешанным соединением элементов и одним источником в установившемся гармоническом режиме. Расчет такой цепи целесообразно производить в комплексных амплитудах токов и напряжений . В этой форме он подобен расчету резистивной цепи из задачи 1, только вместо сопротивлений и проводимостей следует использовать комплексные сопротивления и комплексные проводимости . Для элементов они имеют вид:





Складывая сопротивления последовательных участков и проводимости параллельных, можем получить входные комплексные сопротивления или проводимости в виде:



На основании последних уравнений могут быть построены эквивалентные двухэлементные двухполюсники.

Если теперь приравнять нулю мнимые части этих выражений и выполнить тем самым условие резонанса, то можно получить уравнения для определения резонансных величин

В задаче 3 нужно выполнить следующее:

- все заданные величины представить в комплексной форме;

- рассчитать комплексные амплитуды токов и напряжений всех участков цепи, используя методику задачи 1;

- проверить полученные решения по ЗТК и ЗНК, построив векторные диаграммы напряжений и токов;

- построить эквивалентную схему исходного двухполюсника, определив параметры её элементов;

- для исходной цепи определить резонансную частоту на участке 1, 2, 3;

- построить графики частотных характеристик эквивалентных реактивных сопротивлений или проводимостей участка 1, 2, 3.

Варианты приведены в Приложении 3.

Пример 3.1

Исходная схема представлена на рис. 3.1











Рис. 3.1

Задано:





Расчетная схема для комплексных амплитуд построена на рис. 3.2











Рис. 3.2










Руководствуясь методическими указаниями к задаче 1, сворачиваем схему на рис. 3.2 к зажимам источника тока . Участки 2 и 3 параллельны, поэтому складываем их проводимости





Участки 1 и 2, 3 последовательны. Складываем их сопротивления:



и

Наконец, проводимости параллельных участков 0 и 1, 2, 3:





образуют входную проводимость:



В основе расчета лежат соотношения аналогичные тем, что были в задаче 1:



Зададим на рис. 3.2 направления токов и напряжений участков, соответствующие направлению заданного тока и произведем расчет в следующем порядке:









Построим векторные диаграммы, поместив полученные в расчете комплексные амплитуды на комплексную плоскость (рис. 3.3) в виде векторов, совокупности которых отображают закон токов Кирхгофа (ЗТК):



и закон напряжений (ЗНК):



Все три соотношения выполняются (рис. 3.3), что свидетельствует о правильности расчета.





















-1


+1

Масштаб





0

Рис. 3.3



Построим двухполюсник эквивалентный исходному (рис. 3.1), для чего рассмотрим входную проводимость:

Вещественная часть соответствует проводимости резистора Мнимая отрицательная часть соответствует индуктивной проводимости, откуда .

Оба элемента соединены параллельно (рис. 3.4)





Рис. 3.4

Для поиска резонансной частоты на участке 1, 2, 3 рассмотрим сопротивление участка:

которое при произвольной частоте равно:



При резонансе реактивное сопротивление участка (мнимая часть ) исчезает:




откуда и находится резонансная частота:

(1/с).

Теперь построим частотные характеристики реактивных сопротивлений участков 1 и 2, 3:



и

Целесообразно рассмотреть следующие точки:





1/с, (Ом),

Функцию можно привести к виду которая, как известно, имеет максимум при , равный Учитывая, что получим:



(1/с),

Построим частотные характеристики по этим точкам.





, 1/с





2

4



6

8

10



500

1000


1500

2000


2500

Рис. 3.5

0

Пример 3.2

Исходная схема представлена на рис. 3.6:











Рис. 3.6



,



Расчетная схема для комплексных амплитуд, представлена на рис. 3.7:











Рис. 3.7



Входное сопротивление:



,

,

,

,

,

,

.

Расчет напряжений и токов.

Зададим направление участков (рис. 3.7).

,

,

,

,



,

,

0,4 А; 4 В

-1

+1


















0

Рис. 3.8



Векторная диаграмма реализует ЗТК

и ЗНК


Законы Кирхгофа выполняются. Решение задачи найдено правильно.

Эквивалентный двухполюсник строится по найденному и состоит из последовательно соединенных резистора и индуктивности (рис. 3.9).



Рис. 3.9

Для определения резонансной частоты на участке 1, 2, 3 рассмотрим:

Приравняв мнимую часть нулю, получим уравнение для определения , решение которого дает



(1/с).

Следовательно, при заданных параметрах резонанс на участке 1,2,3 не осуществим. Построим частотные характеристики (рис 3.10):



,

,

по следующим точкам:



,

,

1/с,

0,05




1/с

0,1




500


1000

Рис. 3.10

0

Пересечений и нет, нет и резонанса.



Методические указания к задаче 4

В задаче 4 рассматривается линейная цепь с постоянным источником и одним реактивным элементом в переходном процессе.

Переходный процесс возникает в цепи с реактивными элементами при любом ее изменении, которое приводит к новому режиму с новыми значениями напряжений на ёмкостях и токов в индуктивностях. Это изменение называется коммутацией и осуществляется замыканием или размыканием ключа. Момент коммутации принимается за начало отсчета времени () и условно может быть представлен совокупностью двух бесконечно близких моментов времени до коммутации и после . Правила коммутации устанавливают неизменность токов в индуктивностях и напряжений на ёмкостях в момент коммутации:

,

.

Левые части этих соотношений определяются из расчета установившегося режима цепи до коммутации. Правые части не зависят от коммутации и называются независимыми начальными условиями. Остальные начальные условия , и т.д. относятся к зависимым условиям и определяются подстановкой независимых начальных условий в уравнения цепи, составленные после коммутации как совокупность уравнений ЗТК и ЗНК и уравнений элементов.

Решение этой системы дифференциальных уравнений для любой выбранной неизвестной состоит из двух частей: установившейся и свободной.

Установившееся решение определяется в результате расчета установившего режима цепи, образовавшейся после коммутации, изученными ранее методами. Если установившейся режим вызывается постоянным во времени источником, то при расчете следует закоротить все индуктивности и разомкнуть все ёмкости.

Свободное решение находится в виде суммы функций вида:

,

число слагаемых в решении равно порядку цепи, то есть количеству реактивных элементов в цепи, образовавшейся после коммутации. Для цепи первого порядка удобнее искать свободное решение в виде:



,

где постоянная времени определяется как:



,

или


.

Эквивалентное сопротивление определяется на зажимах реактивного элемента при закороченных источниках напряжения (ЭДС) и разомкнутых источниках тока.

Постоянную интегрирования определяют, приравнивая решение в начальный момент времени определенному заранее (см. выше) начальному условию.

В задаче 4 нужно выполнить следующее:

- составить систему дифференциальных уравнений цепи, образовавшейся после коммутации;

- выбрать неизвестную и записать форму, в которой будет определяться решение;

- определить установившее решение после коммутации;

- определить постоянную времени;

- определить начальное условие и постоянную интегрирования;

- записать решение для выбранной величины и определить еще одну из величин в этой цепи;

- построить графики зависимостей обеих величин от времени.

Варианты приведены в Приложении 4.



Пример 4.1

Исходная схема представлена на рис. 4.1:









Рис. 4.1

Задано:

, ,

, .







Рис. 4.2

В исходной схеме замыкаем ключ и в образовавшейся цепи (рис. 4.2) задаем направление ветвей. Цепь имеет два узла и три ветви, из которых одна вырожденная с источником тока. Для ее описания требуется одно уравнение ЗТК

,

одно уравнение ЗНК



и три уравнения элементов



, , .

Подставив уравнения элементов в уравнения соединений, получим исходную систему дифференциальных уравнений:



Будем искать решения для тока в виде:



.

Учитывая, что установившийся режим – постоянный, закоротим индуктивность и получим схему, представленную на рис. 4.3:







Рис. 4.3



Для определения постоянной времени , найдем , разомкнув источник тока и рассмотрев схему на зажимах индуктивности а, в (рис. 4.4)

Рис. 4.4





а

в

.

Тогда


Решение с точностью до постоянной интегрирования:



.

Цепь в установившемся постоянном режиме до коммутации имеет вид





Рис. 4.5

(рис. 4.5)

,

и в соответствии с правилами коммутации получаем независимое начальное условие

Сравнивая его с решением:

,

получаем:

откуда окончательно:

.

Подставляя в исходную систему уравнений, можем найти:



,

и т. д.


При построении экспоненциальных зависимостей следует учесть, что:

при ;

при ;

при ;

и т. д.

-100


-200







1

2











0

Рис. 4.6



Пример 4.2

Исходная схема представлена на рис. 4.7:









Рис. 4.7

Задано:

,

,

,

.

Расчетная схема представлена на рис. 4.8:

исходная система уравнений

ЗТК


ЗНК (1)

(2)








Рис. 4.8



Подставляем (2) в (1):



Выбираем:



.

Размыкаем ёмкость и находим (рис. 4.9)









Рис. 4.9



.

Закорачиваем источник (рис. 4.10) и на зажимах ёмкости а, в определяем







а

в

Рис. 4.10



.

Постоянная времени


.

Решение с точностью до постоянной интегрирования:



.

Режим до коммутации (рис. 4.11) и независимое начальное условие.







Рис. 4.11



Постоянная интегрирования:



.

Окончательное решение:



и другие величины, например,



Графики







2,5


2,0

1,5


1,0

0,5


25

20


15

10


5

0









Рис. 4.12



Методические указания к задаче 5

Здесь рассчитывается переходный процесс в линейной цепи второго порядка с постоянным источником. В основе расчета лежит преобразования Лапласа, в соответствии с которым исходная схема заменяется операционной, напряжения и токи заменяются операционными изображениями и , дифференциальные уравнения цепи становятся алгебраическими с операционными сопротивлениями:



,

или операционными проводимостями:



Последовательно с появляются дополнительные источники:



,

соответственно, которые могут быть преобразованы в эквивалентные дополнительные источники тока:



,

соответственно. Постоянные ЭДС и токи источников токов изображаются соответственно как:



.

При составлении операционных уравнений могут быть использованы все методы, применяемые ранее при анализе резистивных цепей.

Решение операционных уравнений имеет вид правильной дроби, числитель и знаменатель , которой – полиномы оператора Оригинал от такого изображения находится по теореме разложения

,

где - корни знаменателя ;



- число корней,

.

В задаче 5 необходимо:

- составить операционную схему и операционные уравнения;

- получить решение в виде правильной дроби;

- применить теорему разложения и найти оригинал;

- построить график полученной функции времени.

Условие задачи 5 приведены в Приложении 5.

Пример 5.1

Исходная схема представлена на рис. 5.1:











Рис. 5.1

Задано:

Операционная схема представлена на рис. 5.2

















1


0

Рис. 5.2




,

.

определяются из схемы цепи в установившемся режиме до коммутации (рис. 5.3) при закороченной индуктивности и разомкнутой ёмкости







Рис. 5.3



Применим для расчета метод условных напряжений:



,

,

.

1/с, 1/с.

,

Проверка:



,

по начальному условию .

Решение можно считать правильным.

При построении графика (рис. 5.4) учтем, что затухание определяется постоянной времени связанной с меньшим по абсолютной величине корнем

100

50










Рис. 5.4

0

Пример 5.2

Для исходной схемы из примера 5.1 (рис. 5.1) зададим новые значения:



.

Операционная схема представлена на рис. 5.5:













Рис. 5.5



,

,

(рис. 5.3).

Применим для расчета метод токов связей, приняв связями ветви 1 и 2:



Разрешим систему относительно :



,

Применим теорему разложения для нахождения оригинала :





,

,

,



,

так как - сопряженные комплексные числа.

Окончательно:

Для построения графической зависимости переведем угол (-47,15о) в (-0,823 рад) и выбираем моменты времени, при которых косинус получает значения 1, 0 и (-1), а также начальный момент .

1)

Сопоставляя с полученным ранее фиксируем ошибку %, что допустимо для учебного расчета.

2)

3)

4)

5)

6)



1

5



4

3

2



0

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2





Рис. 5.6
скачать файл



Смотрите также:
Задача № Расчет резистивной цепи методом преобразований. Задача № Расчет резистивной цепи общими методами
227.91kb.
Методические указания и контрольные задания
982.32kb.
Расчет размерных цепей
103.16kb.
1 Расчет и выбор исходных параметров 2 Тепловой расчет проектируемого двигателя
101.89kb.
Расчет прокатных валков клети 950 стана 950/900 на прочность
48.99kb.
Задача на этапе обеспечить овладение учащимися методами и средствами решение задач с помощью информационных технологий
97.26kb.
Цель работы: научится моделировать процессы в нелинейных цепях постоянного тока используя пакет Mathcad, получить из созданной модели основные сведения о режимах работы электрической цепи, содержащей нелинейный элемент
39.29kb.
Задача №4 26 Решение 28 Бета-коэффициент (индекс) равен 0,028 29 Задача 17 30 Задача 23 31 Брокер 31 к 32
337.73kb.
Поставьте галочки напротив нужных Вам для допуска видов работ, нажмите кнопку "продолжить расчет" в конце списка видов работ и обязательно!!! укажите Вашу эл почту, иначе мы не сможем отправить Вам расчет стоимости допуска
41.42kb.
Расчет частот электромагнитного поля, используемых производственных условиях. Защита от воздействия эми
205.26kb.
После такой замены расчет ведут как для однородной плотины без дренажа или с дренажем в зависимости от принятой конструкции плотины. Кривую депрессии строят только на участках плотины до и после ядра
1088.59kb.
Примеры задач по экономике Задача 1
14.05kb.